Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения

1.18.1. Методы нахождения частных решений.

Рассмотрим неоднородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

,                                        (1)

где правая часть имеет специальный вид  или более общий вид

 или еще  

или .

Нас будут интересовать способы нахождения частного решения уравнения (1). Это имеет значение, потому что, для того чтобы получить общее решение уравнения (1), надо найти какое-либо его частное решение и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного уравнения. Последнее мы умеем находить (см. § 1.16).

Рассмотрим сначала самый простой случай . Характеристический многочлен уравнения (1) имеет вид

.

Если  не является корнем характеристического уравнения

,                                                                                               (2)

то частное решение уравнения

                (3)

можно найти в виде функции

,                                                                            (4)

где  - постоянная. Подставив эту функцию в уравнение (3), получим , откуда после сокращения на (неравный нулю!) множитель  получаем  или

,                                                                                             (5)

и число  найдено.

Пример 1. Уравнение

                                                                                    (6)

имеет характеристическое уравнение

.

Число  не является корнем характеристического уравнения , поэтому частное решение (6) можно искать в виде . Согласно (5) . Общее решение уравнения (6) имеет вид

,

где  — произвольные постоянные.

Пример 2. Найдем частное решение уравнения

.                                                                      (7)

Рассматриваем два уравнения

.                                                                    (7')

.                                                                   (7")

Умножаем второе уравнение на  и полученное уравнение складываем с первым уравнением. При этом полагаем  и учитываем равенство . В результате получим

.                                                                           (8)

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет корни . Оба они отличны от числа . Поэтому, как было доказано выше, частное решение уравнения (8) можно найти в виде функции , где  - постоянная.

Подставляя эту функцию в (8) и рассуждая, как выше, получим

.

Итак, функции

есть частное решение дифференциального уравнения (8). Ее действительная часть

есть решение дифференциального уравнения (7'), или, что все равно, решение данного уравнения (7).

Попутно мы получили частное решение уравнения (7''), или, что все равно, уравнения

.

Общее решение уравнения (7) записывается по формуле

,

где  - произвольные постоянные.

Если  есть корень характеристического уравнения (2), то уравнение (3), очевидно, не имеет решения вида (4). В этом случае нам поможет следующая лемма.

Лемма 1. Если  - действительный или комплексный корень кратности  характеристического уравнения (2), то частное решение дифференциального уравнения (3) можно найти в виде

,

где  - некоторая постоянная.

Приведем сначала пример.

Пример 3.

.                                                           (9)

Характеристическое уравнение есть , или . Число  есть его корень кратности 2. Поэтому, согласно лемме 1, решение надо искать в виде

.

Имеем

.

Подставляя в (9), получим

.

Следовательно,  и общее решение есть

.

Доказательство леммы 1. Применим к левой и правой частям дифференциального уравнения (3) операцию (оператор) . Тогда в правой части будем иметь

.

Поэтому

.                                                   (10)

Мы получили дифференциальное уравнение  - го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид

.                                                      (11)

Уравнение  и уравнение (11) имеют одни и те же корни, но корень  в уравнении (11) кратности  (на 1 больше). Общее решение однородного уравнения

                            (12)

запишем так:

где  - решения, соответствующие корням характеристического уравнения, не равным , если таковы есть. Общее же решение уравнения (10) можно записать в виде

.

Всякое решение  уравнения (3) есть решение уравнения (10), и потому

                                                            (13)

для некоторого набора постоянных

.                                                           (14)

Мы показали, что если  есть решение уравнения (3) , то можно подобрать постоянные (14) так, что . Теперь для указанных постоянных (14) будем иметь

.

Этим доказано, что есть такое число , для которого функция

есть решение неоднородного дифференциального уравнения (3). Лемма доказана.

Рассмотрим теперь два дифференциальных уравнения

                                     (15)

                                     (16)

где  - действительные числа, а  - натуральное. Умножим второе из них на  и сложив с первым, получим уравнение

.                      (17).

Вместо двух уравнений (15) и (16) с неизвестными функциями , мы получили одно уравнение (17) с неизвестной комплексной функцией . Если решение  уравнения (17) найдено, то действительная его часть  будет решением уравнения (15), а мнимая  - уравнения (16).

При  уравнение (17) уже было исследовано.

Пример 4. Дано уравнение

.            (18)

Наряду с ним рассмотрим уравнение

.               (19)

Имеем

, .

Умножив второе уравнение на  и сложив с первым, получим

, .          (20)

Число  есть корень кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в виде . Имеем

, .

Подставляя , ,  в уравнение (20), получим

, .

Частное решение уравнения (20) имеет вид

.

Мнимая часть

есть частное решение данного уравнения (18). Действительная же часть есть частное решение уравнения (19).

Случай  (для уравнения (17)) предусматривается в следующей лемме.

Лемма 2. Частное решение уравнения (17) можно найти среди функций вида

,                       (21)

где - кратность корня  характеристического уравнения , а , , …, - постоянные.

Если  не есть корень уравнения , то все же можно формально считать, что  есть корень только кратности 0. В этом случае надо в формуле (21) считать  и частное решение надо искать в виде

Доказательство ведется аналогично доказательству леммы 1.

Общее решение однородного уравнения  записываем так:

,               (22)

где , …, - решения, соответствующие корням, не равным , если таковые имеются.

Подвергнем уравнение (17) операции . Так как

,

то

.

Поэтому мы получаем однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

.                                (23)

Его характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение , но кратность  больше на число . Поэтому общее решение уравнения (23) можно записать в виде

.            (24)

Всякое решение уравнения (17) есть решение уравнения (23), и потому оно может быть записано в виде (24). Но тогда

,

что показывает, что функция (21) при подходящем выборе постоянных , …,  есть частное решение уравнения (17).

Пример 5. .

Характеристическое уравнение  имеет корни . Число  является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому, согласно лемме 2, частное решение ищем в виде

.

Имеем

,

.

Подставляя эти значения в уравнение, получим

,

откуда

,     ,

т.е.

.

Значит частное решение нашего уравнения будет

,

и общее решение

.

Замечание. Если функция является решением уравнения

,

то функция  является решением уравнения

.

Отсюда и из сказанного выше ясно, что форма частного решения неоднородного уравнения  с правой частью вида

,

где , - некоторые алгебраические многочлены степени не выше , совпадает с видом правой части, если  не являются корнями характеристического уравнения .

Если же числа  являются корнями характеристического уравнения с кратностью , то частное решение нужно искать также в виде правой части, но степени алгебраических многочленов надо повысить на  единиц.

Отметим, что если в первой части присутствует, например, слагаемое , то частное решение необходимо искать в виде суммы,    

,

где , - многочлены соответствующих степеней.

Пример 6. Написать форму частного решения уравнения

.

Характеристическое уравнение  имеет корни . Правой части  соответствует число . Эти числа являются корнями кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в форме

.

Пример 7. ; характеристическое уравнение . Правой части  соответствует число , являющееся корнем четвертой кратности характеристического уравнения, значит, частное решение надо искать в форме

.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>