§ 1.17. Метод вариации постоянных

Рассмотрим неоднородное уравнение -го порядка

,                                           (1)

где коэффициенты  и правая часть  - заданные непрерывные функции на интервале .

Допустим, что нам известна фундаментальная система решений  соответствующего однородного уравнения

                                       (2)

Как мы показали в § 1.15 (формула (6)), общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (2) и какого-либо решения уравнения (1).

Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнения (2). Разъясним этот метод на примере уравнения порядка.

Итак, пусть задано линейное уравнение третьего порядка

.                                                        (3)

Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения есть

,                             (4)

где  - линейно независимые решения уравнения (2)

.

Будем искать решение неоднородного уравнения (3) в виде суммы (4), где  - некоторые непрерывно дифференцируемые функции, которые надо найти. Наложим на искомые функции  два условия

                                                               (5)

Тогда будет

Подставив эти производные и саму функцию  в (3), получим

,

или

Но выражения в скобках в левой части этого равенства равны нулю, поэтому

.                                                                (6)

Мы получили уравнение (6) и два уравнения (5) с коэффициентами  и правой частью , которые непрерывны на . Эти три уравнения образуют линейную алгебраическую систему относительно неизвестных  с определителем, не равным нулю, потому, что это есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений . Поэтому данная система имеет единственное решение

где  - непрерывные на  функции. Отсюда

.                                                      (7)

При этом функции  имеют на  непрерывную производную. Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид

,

где функции  определяются равенствами (7).

Пример,  - корни характеристического уравнения; общее решение однородного уравнения .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных  и . Составим систему 5), (6):

.

Решая систему, имеем . Отсюда  и частное решение

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения

.