1.16.2. Уравнение Эйлера.

Уравнение с переменными коэффициентами вида

,

где , - постоянные числа, называется уравнением Эйлера. С помощью замены  это уравнение сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. В самом деле, имеем

.

Отсюда

Подставляя эти значения, получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции . Частными решениями этого уравнения, как мы показали выше, являются функции вида  или , где  - корень (простой и кратный) соответствующего характеристического уравнения. Таким образом, частные решения уравнения Эйлера сразу можно искать в форме .

Пример 8. Решим конкретное уравнение Эйлера . Будем искать частные решения в виде , тогда

.

Подставляя эти значения производных, получаем

.

Отсюда, если , то . Последнее уравнение имеет корень  второй кратности. Значит,  — решение уравнения Эйлера. Другое решение - , в чем можно убедиться непосредственно. Так как  и  линейно независимы (их определитель Вронского равен ), то

 - общее решение данного уравнения Эйлера.