§ 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

1.16.1. Методы решения.

Уравнение

,                        (1)

где  - постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением  - го порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы решить уравнение (1), надо найти какую-либо его фундаментальную систему решений, т. е. найти какие-либо его  частных решений , образующих линейно независимую систему на всей оси, и тогда (см. § 1.15) общее решение уравнения (1) будет иметь вид

,

где  - произвольные постоянные числа.

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде , где  - постоянное число. Тогда

.

Подставляя эти значения производных в (1), получаем

.

Так как , то

.                                                (2)

Таким образом, если  есть корень алгебраического уравнения (2), то функция  есть решение уравнения (1) и обратно. Уравнение (2) называется характеристическим для уравнения (1). Это уравнение можно получить из (1), если производные  заменить соответственно числами . Обратно по уравнению (2) легко восстановить уравнение (1). Уравнение (2), как известно, имеет  корней с учетом кратности.

. Пусть корни уравнения (2)  различны. Тогда  функций

                                                                  (3)

являются решениями уравнения (1) и притом линейно независимыми на  (см. пример 3 § 1.15), т. е. они образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Поэтому в этом случае (см. теорему 4 § 1.15) общее решение уравнения (1) запишется в виде

,                     (4)

где  - произвольные постоянные.

Пример 1. Уравнение  имеет характеристическое уравнение  с простыми действительными корнями . Общее решение .

Пример 2. Уравнение  имеет характеристическое уравнение  или . Корни простые: . Им соответствует общее решение уравнения .

Если числа  действительные и если какой-либо корень  комплексный , то среди остальных корней должен быть ему сопряженный . Так как комплексные функции  суть решения уравнения (1), то (см. теорему 1 §1-15) функция

,                                   (5)

так же как функция

,                                       (6)

в свою очередь есть решение уравнения (1). Здесь мы использовали формулу Эйлера .

Решения (5) и (6) - действительные функции, и в этом они имеют преимущество перед функциями , поэтому ими часто заменяют в системе (3) эти последние функции.

Можно доказать, что таким образом видоизмененная система (3) линейно независима на

Пример 3. Уравнению  соответствует характеристическое уравнение  и комплексные корни , сопряженные друг другу. В показательной форме решение имеет вид

.

Используя формулы Эйлера, общее решение можно записать:

Здесь  и  - произвольные постоянные, потому что уравнения  могут быть решены относительно , при любых .

Пример 4. Уравнению  соответствует характеристическое уравнение  с корнями

.

Общее решение уравнения запишется так:

.

. Если  - корень кратности , то в системе (3) возникает  равных функций

                                                           (7)

и система (3) перестает быть линейно независимой. Оказывается (см. ниже лемму 1) в этом случае (когда  - кратный корень) функции

                                     (8)

тоже будут решениями уравнения (1), образующими линейно независимую на любом интервале  систему (см. ниже лемму 1). Ими обычно заменяют функции (7) в системе (3).

Если произвести такую замену для всех кратных корней, то полученная новая система будет, как это можно доказать, линейно независима.

Пример 5. Уравнению  соответствует характеристическое уравнение , имеющее один двукратный корень . Поэтому общее решение этого уравнения записывается в виде .

Пример 6. Уравнение  имеет характеристическое уравнение  или , откуда  - корень третьей кратности и, следовательно, общее решение имеет вид .

Для действительных  если  — комплексный корень кратности , то и  - корень кратности , которому соответствуют решения

,                                                                   (8')

возникающие в ряду (3). Запишем подробнее решения (8) и (8')

Складывая их соответственно и деля на  или вычитая и деля на , получим две системы действительных решений уравнения (1)

                                              (9)

которыми заменяют комплексные функции (8) и (8") в ряду (3). Остается заметить, что можно доказать, что если подобную замену совершить для всех кратных корней характеристического уравнения, то функции новой системы образуют линейно независимую систему решений уравнения (1) на любом интервале .

Пример 7. Дифференциальное уравнение  имеет характеристическое уравнение  или , откуда  и  - корни второй кратности. Поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Лемма 1. Если  есть корень характеристического уравнения  кратности , то функции

суть линейно независимые на любом интервале  решения дифференциального уравнения (1).

Доказательство. Линейная независимость указанных функций установлена в примере 4 § 1.15.

Так как  - корень кратности  многочлена , то , где  - такой многочлен, что . Отсюда

.                        (10)

Имеем

,

где  - некоторые постоянные числа. Отсюда, если , а , в силу (10) получаем

и лемма доказана.

Замечание. Из изложенного выше вытекает, что если  - корень характеристического уравнения кратности  то фундаментальная система решений уравнения (1) состоит из функций

.

Если некоторый корень  - является комплексным , то этому корню, совместно с корнем  соответствует группа действительных функций