§3.2. Криволинейный интеграл первого рода

Пусть задана непрерывная кусочно-гладкая кривая

,                                                      (1)

и пусть на  или в окрестности  определена непрерывная функция .

Криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой  называется число, равное

                                (2)

Левая часть (2) есть обозначение интеграла первого рода, а правая часть есть его определение - это обычный определенный интеграл по  на .

Например, если кривая  обладает массой с плотностью распределения  в точках , то общая масса  кривой вычисляется посредством интеграла (2). Ведь элемент материальной кривой, соответствующей отрезку  изменения , имеет массу, равную, с точностью до бесконечно малой высшего порядка,

,

где  - дифференциал дуги , это показывает, что  равна правой части (2).

Величина интеграла первого рода не изменяется при перемене ориентации кривой:

.                                            (3)

Вычислять массу материальной кривой при помощи интеграла, стоящего в левой части или в правой части (3) - это, очевидно, все равно.

Например, кривую (1) можно задать уравнениями

,

ориентирующими ее в противоположном направлении, и тогда

Пример 1. Пусть вдоль винтовой линии, определенной в примере 2 §3.1, распределены массы с плотностью . Найти массу  участка винтовой линии, когда параметр  изменяется от 0 до 3 .

Запишем уравнение рассматриваемой винтовой линии в виде

.

Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл первого рода по эллипсу

от функции .

Имеем