§3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой

3.3.1. Поле вектора.

Пусть  есть область пространства , где задана прямоугольная система координат  и из каждой точки  выпущен вектор , зависящий, вообще говоря, от этой точки. Тогда

                  (1)

или более кратко

                                                             (1')

где  - функции от , определенные на области .

Говорят, что равенство (1) определяет поле вектора  на области .

Если  - непрерывные функции на , то и вектор  есть непрерывная вектор-функция на .

Соответственно, если  имеют непрерывные частные производные, то и про вектор  говорят, что он имеет это свойство.

Пример 1. Пусть в начале координат  сконцентрирована масса . Тогда в области  представляющей собой пространство  без точки , возникает поле силы тяготения. Физически его можно обнаружить, если поместить в произвольной точке  (отличной от начала координат ) массу . Тогда масса  будет притягиваться к массе  с силой , скалярная величина которой равна

,                                       (2)

где  - некоторая постоянная, а  - расстояние от точки  до . Если считать, что , то

.

Рис.68

Так как вектор  направлен от точки  к точке  (рис. 68), то его компоненты на оси координат  соответственно равны

(вектор  и направленный отрезок  образуют с осями координат  углы, косинусы которых соответственно равны ).

В связи с полем вектора тяготения можно рассматривать функцию

.

Легко проверить, что ее частные производные по переменным  соответственно равны компонентам вектора :

.

Благодаря этому свойству функция и называется потенциальной функцией для вектора .