1.5.2. Полное метрическое пространство.

Метрическое пространство  называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.

Мы знаем, что одномерное пространство , (чисел) полно (критерий Коши!). Можно доказать, что и пространство полно при .

Теорема 1. Пространство  полное.

Доказательство. Пусть элементы этого пространства  образуют фундаментальную последовательность в смысле метрики (1): для всякого  такое, что

                                        (2)

при .

Из (2) следует, что при фиксированном

                      (3)

Последнее означает, что числовая последовательность  фундаментальна, поэтому на основании критерия Коши она сходится к некоторому действительному числу, которое мы обозначаем :

             (4)

Переходя к пределу в неравенстве (3) при , получаем

.                              (5)

Отсюда

.                                          (6)

Это показывает, что последовательность  сходится равномерно к  на , и так как функции  непрерывны на , то и предельная функция  непрерывна на , т. е. . Теорема доказана.

Замечание. В неравенстве (6) теперь символ  можно заменить на .