1.5.3. Принцип сжатых отображений.

Пусть в полном метрическом пространстве  задан оператор (функция), отображающий  в себя,

.

Оператор  будем называть сжимающим, если

,

где число  не зависит от , .

Элементы  метрического пространства  будем также называть точками этого пространства.

Точка  называется неподвижной точкой оператора , если .

Оператор  будем называть непрерывным в точке , если

(т. е. ).

Легко видеть, что сжимающий оператор всегда непрерывен в любой точке . Ведь, если , то

.

Теорема 2. Если сжимающий оператор  отображает полное метрическое пространство  в себя, то существует единственная неподвижная точка этого оператора.

Эту теорему называют принципом сжатых отображений.

Доказательство. Докажем, что двух неподвижных точек быть не может. Пусть ,  - неподвижные точки: . Тогда

.                       (7)

Если предположить, что , то из (7) получаем , чего быть не может. Значит,  и .

Переходим к доказательству существования неподвижной точки.

Пусть  - любая точка пространства . Составим последовательность элементов:

Эту последовательность будем называть итерационной, порожденной оператором . Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Имеем

     (8)

Далее на основании неравенства треугольника и (8) получаем

Так как , то при любом  и  

,

если  достаточно велико.

Итак, последовательность  фундаментальна, а так как пространство  полное, то она сходится к некоторому элементу  этого пространства

.

Докажем, что  — неподвижная точка:

при .

Таким образом, , и по первой аксиоме расстояния заключаем, что , т. е.  - неподвижная точка. Теорема доказана.

Замечание. Используя тот факт, что  - неподвижная точка, получаем

              (9)

Далее

,

откуда

.                                              (10)

Формулы (9) и (10) показывают, что  является приближенным значением неподвижной точки с погрешностью, не превышающей  и .

Обратим внимание на формулу (10), которая дает оценку расстояния между  и  через расстояние между двумя соседними точками  и  итерационной последовательности. Взяв  за приближенное значение , мы гарантируем, что погрешность приближения меньше правой части (10).