Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


1.5.4. Приближенное значение корня функции.

Пусть функция  имеет корень (нуль) на . Будем предполагать, что  имеет производные первого и второго порядков и  на , т. е.  монотонна на этом сегменте. Это говорит о том, что на  имеется один корень функции .

Составим вспомогательную функцию

,

где  - некоторая непрерывно дифференцируемая функция, не равная нулю. Ясно, что неподвижная точка  функции  является нулем  и обратно.

Поэтому, если функция  отображает  в  и является сжимающей на , то итерационная последовательность  сходится к неподвижной точке  (т. е. к корню ), а  можно взять за приближенное значение корня. При различных  мы получим различные приближенные методы вычисления корня функции .

Рассмотрим конкретную функцию  и поставим задачу о приближенном вычислении корня этой функции с погрешностью 0,01. Имеем , , . Следовательно, на  имеется только один корень . Положим .

Тогда

.

Выясним, будет ли эта функция сжимающей. По теореме Лагранжа получаем

,

где

.

Для отрезка

и значения функции  не выходят за пределы :

.

Таким образом, на , функция  сжимающая. Пусть , тогда  и

На основании (10)  можно взять за приближенное значение корня функции  с погрешностью 0,01 (на самом деле с погрешностью 0,003).

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>