§ 1.5. Метрическое пространство

1.5.1. Понятие метрического пространства.

Пусть  - множество элементов   произвольной природы.

Множество  называется метрическим пространством, если любой паре его элементов поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами  и , удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам расстояния):

1)  тогда и только тогда, когда ;

2) ;

3) .

Аксиома 3) обычно называется неравенством треугольника. Функцию  от двух аргументов ,  будем называть еще метрикой пространства .

Легко видеть, что -мерное пространство с метрикой

,

где , является метрическим пространством.

Множество  всех непрерывных функций, заданных на , будет метрическим пространством, если метрику ввести по формуле

                                                          (1)

Аксиомы расстояния легко проверяются.

В дальнейшем выражение  будет обозначать некоторую последовательность элементов . Таким образом,  обозначает элемент, имеющий номер , а не степень элемента .

Элемент  есть предел , если

.

Последовательность  в этом случае называется сходящейся.

Последовательность  называется фундаментальной, если  такое, что

при .

Если последовательность сходится к , то она фундаментальная. В самом деле, из сходимости  к  следует, что для любого  найдется  такое, что . Поэтому на основании неравенства треугольника

 

при .

Обратное утверждение не всегда верно. Например, если  есть интервал  и , то  - фундаментальная последовательность. Но она не сходится к элементу пространства  (она сходится к нулю, который не принадлежит ).