§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка

Класс дифференциальных уравнений, которые мы можем эффективно решить, весьма узок. Например, решение простого на первый взгляд дифференциального уравнения

оказывается, не может быть сведено даже к квадратурам (интегралам). Поэтому в большинстве случаев приходится решать дифференциальные уравнения приближенно.

Но прежде чем применять какой-либо приближенный метод, надо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравнения. Очень важно также знать заранее, единственно ли оно.

Ниже формулируются условия, которые гарантируют существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка

                                                                   (1)

при начальном условии

.                                                                      (2)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция  непрерывна на прямоугольнике

и имеет на нем ограниченную производную  удовлетворяющую неравенству

.                                                                                (3)

Тогда на отрезке , где

,                                (4)

существует и притом единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2).

При этом выполняется неравенство

.

Решение  непрерывно дифференцируемо на . А если  на самом деле имеет непрерывные частные производные по  и  порядка , то  имеет на  непрерывные производные до порядка  включительно.

Рис. 7

На рис. 7 в плоскости изображен прямоугольник  и принадлежащий к нему прямоугольник

.

Теорема утверждает, что если на прямоугольнике  функция  непрерывна и имеет ограниченную частную производную  удовлетворяющую неравенству (3), то через точку  проходит единственная интегральная кривая , определенная для всех значений . Она полностью принадлежит к прямоугольнику . Число  удовлетворяет соотношениям (4).

Подчеркнем, что теорема 1 гарантирует существование определенного отрезка

,

на котором заведомо существует решение

уравнения (1), проходящее через точку .

Если бы нам понадобилось найти это решение приближенно, то при наличии указанной информации мы организовали бы нахождение приближенного решения именно на этом отрезке , потому что нельзя ручаться, что указанное решение определено вне .

Теорема 1 будет доказана в § 1.6, а сейчас мы рассмотрим

Пример. Уравнение

                                                                               (5)

есть частный случай дифференциального уравнения (1).

Правая его часть не зависит от . В данном случае функция  равна  при любом .

Так как функция  при любом  непрерывна вместе со своей производной по , то определяемая ею функция  непрерывна вместе со своей частной производной  на всей плоскости . Поэтому, не решая уравнение (5), на основании теоремы существования, что через любую точку  проходит и притом единственная интегральная кривая уравнения (5).

Пусть . Зададим произвольный прямоугольник

.

Для него

Следовательно,

.                                        (6)

Уравнение (5) легко решается. Общий его интеграл в верхней полуплоскости  и в нижней полуплоскости  определяется равенством

.                                                                 (7)

Имеется еще одно решение , но оно нас не будет интересовать.

Среди решений (7) выберем то, которое проходит через точку (3, 1). Очевидно, это есть решение

.

Его график изображен на рис. 8. Мы видим, что интегральная кривая уравнения (5), проходящая через точку , уходит в бесконечность при .

Рис. 8

Наибольший интервал с центром в точке , на котором определена наша интегральная кривая, есть интервал (2, 4). Соотношение (6), полученное из общей теоремы существования, дает несколько меньший интервал.

Теорема существования решения дифференциального уравнения будет доказана из общих соображений, относящихся к теории метрических пространств. Следующий параграф посвящен этой теории.