§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня

Согласно § 5.5 температура  точки  стержня в момент времени  удовлетворяет дифференциальному уравнению

.                        (1)

Будем рассматривать бесконечный стержень . Краевые условия при этом отпадают, поэтому мы будем искать ограниченное решение уравнения (1), удовлетворяющее только начальному условию

,                       (2)

где функция  определена на всей действительной оси. Будем предполагать, что функция  непрерывна и принадлежит . Эту задачу мы будем называть задачей Коши для уравнения (1).

Для упрощения записи ниже будем считать .

Чтобы решить поставленную задачу, применим метод Фурье разделения переменных. Частное решение будем искать в виде

.

Подставляя эту функцию в (1), получаем

,

,         (3)

.       (4)

Решение уравнения (3) имеет вид

.

Из физических соображений ясно, что температура  не может возрастать неограниченно при . Значит, постоянная  должна быть отрицательной. Положим . Тогда решение уравнения (4)

.

Функция

     (5)

есть частное решение уравнения (1) при всех . Но тогда сумма таких решений и даже интеграл по параметру  от функции (5) также будет решением уравнения (1):

.                       (6)

Конечно, функции  и  должны достаточно быстро убывать к нулю, чтобы законно было дифференцирование (6) по параметрам  и . Функции  и  находим из начального условия

.                (7)

Запишем разложение функции  в интеграл Фурье (см. (1) § 4.13):

.                      (8)

Сравнивая (7) и (8), мы видим, что надо считать

, .   (9)

Подставляя эти значения в (6), получаем (см. 12) § 4.14)

.               (10)

Итак, задача (1), (2) решена полностью.

Замечание. Если функция  удовлетворяет условиям, отмеченным в замечании 1 § 5.4, то решение задачи Коши, полученное по формуле (10), непрерывно и ограничено вместе со своими производными ,  и является единственным решением в классе ограниченных функций.