3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода.

Если ориентированная кривая  представляет собой сумму двух различных ориентированных кривых  и , то

                                                                      .

На рис. 71 изображена ориентированная кривая , разрезанная на две соответственно ориентированные кривые  и .

На рис. 72 изображены два ориентированных замкнутых контура  и . Под  понимается сложный ориентированный контур - объединение  и .

По определению считается, что

.

Справедливо свойство: если  есть та же кривая, что и , но ориентированная противоположно, то

.

Из механических соображений это свойство очевидно. Работы одной и той же силы  вдоль  и вдоль , очевидно, равны, но противоположны по знаку.

Рис.71                                              Рис. 72

Докажем все же это свойство формально. Это имеет смысл, чтобы яснее представить себе различие интегралов второго и первого рода. Ведь интеграл первого рода, как мы знаем, не меняет знака при перемене ориентации .

Пусть  есть единичный вектор касательной к , направленный в сторону возрастания параметра . Тогда

,

где скаляр  - дифференциал дуги . Поэтому

.

Правая часть этого равенства есть интеграл первого рода от функции  по . Он, как мы знаем, не зависит от ориентации . Поэтому (пояснения ниже)

.

Рис. 73

В первом равенстве этой цепи мы заменили в интеграле первого рода  на , не изменяя подынтегральную функцию. Во втором равенстве мы заменили  на , поставив перед интегралом знак минус, чтобы компенсировать это изменение. В третьем равенстве надо учесть, что  есть единичный вектор касательной к . Итак,

.

Пример 2. Вычислить интеграл второго рода (рис. 73)

вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки  в точку , и по дуге параболы , соединяющий эти же точки.

В первом случае имеем

.

Во втором случае

.

Пример 3. Вычислить интеграл второго рода

вдоль тех же кривых, что и в примере 1.

Имеем

.

Далее, при  получаем

.

Эти примеры показывают, что интеграл второго рода, вообще говоря, зависит от кривой, по которой он вычисляется, или, как еще говорят, он зависит от пути интегрирования.

Во втором примере мы получили одно и то же значение по разным путям интегрирования. Оказывается, это не случайно. Причину последнего свойства мы выясним в дальнейшем.