§3.4. Поле потенциала

3.4.1. Понятие потенциала и его свойства.

Важным случаем поля вектора

является тот, когда на области , где задано поле, существует функция , имеющая непрерывные частные производные, для которых выполняются равенства (на )

Такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора  на . Говорят еще, что вектор  есть градиент функции  и пишут

.

Пример 1. Функция

,

определена на всем пространстве, исключая нулевую точку . Ее градиент равен

                                                                   .

В равенстве

в скобках стоит единичный вектор, направленный в сторону радиус-вектора точки . Но тогда

.

Эти факты можно интерпретировать следующим образом. В нулевой точке находится единичный электрический заряд; в точке  тоже находится единичный заряд того же знака. Сила взаимодействия (отталкивания) между этими зарядами есть вектор, приложенный в точке , направленный как радиус-вектор точки ; его величина равна .

Мы видим, что вектор  имеет потенциал .

Перейдем к общим свойствам поля вектора, имеющего потенциал.

Теорема 1. Для того чтобы поле вектора , заданного в области  пространства, имело потенциал, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух условий;

1) Интеграл от вектора  по любому замкнутому (кусочно-гладкому) контуру , принадлежащему к , равен нулю.

2) Интеграл по любому (кусочно-гладкому) пути , соединяющему любые две точки , не зависит от пути интегрирования.

Если  - потенциальная функция вектора , то интеграл от  вдоль любого пути , соединяющего точки , равен

.                                                            (1)