3.4.2. Доказательство свойств потенциала.

Прежде всего докажем эквивалентность свойств 1) и 2).

Пусть справедливо свойство 1). Зададим в  две точки  и  (рис. 74). Соединим их двумя различными ориентированными от  до  кривыми  и , принадлежащими . В силу 1)

,

поэтому

,

и мы доказали свойство 2).

Рис. 74                                                    Рис.75

Обратно, пусть верно свойство 2). Зададим произвольный ориентированный замкнутый контур  (рис. 75).

Разрежем его в точках  и  соответственно на две ориентированные кривые

По свойству 2)

,

откуда

,

и мы доказали 1).

Пусть теперь известно, что поле вектора  имеет в области  потенциальную функцию .

Зададим на  точку  и переменную точку . Соединим  с  ориентированной от  до  непрерывной кусочно-гладкой кривой  определенной уравнениями

.

Таким образом, значениям  параметра  соответствуют точки .

Если подставить в  вместо  соответственно функции  то  будет непрерывной кусочно-гладкой функцией от . На основании теоремы о производной сложной функции в точках гладкости  (где  имеет касательную)

.

Отсюда следует, что

                      (2)

т. е. криволинейный интеграл второго рода при фиксированной точке  зависит только от положения точки  от пути, по которому она достигается из точки . Этим доказано свойство (2) и равенство (1), если известно, что вектор  имеет в области  потенциальную функцию .

Рис. 76

Нам остается доказать, что из свойства 2) следует, что существует определенная на  потенциальная функция , градиент которой на  равен . В самом деле, зададим фиксированную точку  (рис. 76). Пусть известно, что 2), т. е. данное поле вектора  таково, что криволинейный интеграл по любой непрерывной кусочно-гладкой кривой, соединяющей  с произвольной точкой , не зависит от этой кривой, а зависит только от точки . Таким образом, существует определенная на  функция  такая, что

.

Чтобы доказать, что  в точке , будем рассуждать следующим образом. Точку  соединим с  специальной кривой  (см. рис. 76), которая заканчивается некоторым отрезком , параллельным оси . Этот отрезок мы продолжим до некоторой точки . Таким образом, переменная точка  отрезка  имеет постоянные координаты  и  и только одну переменную координату . Кривую  представим в виде суммы кривых

,

и тогда

,                     (3)

где  - постоянная, не изменяющаяся при движении точки  по отрезку , а . Надо учесть, что уравнения отрезка  можно записать в параметрическом виде (через параметр ) , откуда следует, что

Итак, мы получили равенство (3), верное, какова бы ни была точка  отрезка . Здесь  фиксированы, а  может изменяться. Так как под интегралом по  в правой части (3) стоит непрерывная функция от , то

.

Аналогично можно доказать, что

,

вводя специальные кривые , оканчивающиеся отрезком, параллельным оси  в одно случае и параллельном оси  в другом.

Пример 2. Вычислим работу, которую совершает сила , определенная в примере 1, вдоль пути, соединяющего точки  и .

Сила  имеет потенциальную функцию

на области , представляющей собой пространство без нулевой точки. Поэтому криволинейный интеграл не зависит от пути.

В силу формулы (1) интеграл от вектора  вдоль любого (кусочно-гладкого) пути , соединяющего точки  и , равен

.

Итак, искомая работа вектора  равна .