1.2.3. Задача Коши.

Отметим задачу, называемую задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Она гласит: требуется найти решение  данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

,

где  - заданная точка плоскости .

Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение.

Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт, который будет доказан в § 1.6: для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно  форме

задача Коши имеет решение и притом единственное для любой точки  области  плоскости , если заданная на этой области функция  непрерывна вместе со своей частной производной .

Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если  и  суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , заданные соответственно на интервалах  и , то  на пересечении этих интервалов.