1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1. Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

,                                         (4)

где  - непрерывная на некотором интервале  функция.

Из теории неопределенного интеграла следует, что любое решение этого дифференциального уравнения может быть записано следующим образом:

,

где справа в качестве первого слагаемого стоит неопределенный интеграл от , т. е. некоторая первообразная функция от  на :

а в качестве второго слагаемого - произвольная постоянная .

Итак, любое решение дифференциального уравнения (4) определяется равенством

,                                     (5)

где  _ некоторая первообразная от  на , а  произвольная постоянная - параметр семейства решений.

Каждому значению параметра  соответствует отдельное (частное) решение дифференциального уравнения (4), и при этом любое решение этого уравнения может быть получено как частное решение семейства (5) при соответствующем значении .

Если равенство (5) продифференцировать по , то получим исходное дифференциальное уравнение (4). Благодаря этому свойству равенство (5), содержащее в себе произвольную постоянную , называют общим интегралом дифференциального уравнения (4). Задача Коши для дифференциального уравнения (4) решается и притом единственным образом при начальном условии , где  — любая точка из полосы  плоскости . Чтобы решить ее, подставляем в общий интеграл (5) точку  и находим постоянную :

.

Отсюда получаем

Это и есть решение (интегральная кривая) нашего дифференциального уравнения (4), проходящее через точку  (рис.1).

Рис.1

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

,                                    (6)

где  - заданная постоянная. Легко проверить, что функция

                                    (7)

при любом значении параметра  есть решение дифференциального уравнения (6). Мы не будем сейчас объяснять, как к этому семейству решений, зависящему от произвольной постоянной , можно логически прийти (см. далее § 1.3).

Продифференцируем равенство (7) по :

.                                          (8)

Теперь исключим параметр  из обоих равенств (7) и (8), т. е. найдем  из одного из них и подставим в другое. Получим, очевидно, опять исходное дифференциальное уравнение (6).

В силу этого свойства равенство (7) называют общим интегралом дифференциального уравнения (6).