1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения

1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения.

Введем понятие линейной зависимости функций, по аналогии с соответствующим понятием для системы векторов.

Функции называются линейно зависимыми на , если одна из них является линейной комбинацией других . Другими словами, функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что

. (4)

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на .

Система из линейно независимых на интервале решений

однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме 1 произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

, (5)

где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Но оказывается, что и обратно, всякое решение дифференциального уравнения (3) на интервале есть некоторая линейная комбинация из указанных (независимых между собой) его частных решений (см. ниже теорему 4), образующих фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

Отметим, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения однородного уравнения

. (6)

В самом деле,

С другой стороны, если есть произвольное решение уравнения (1), то

и, следовательно, есть решение однородного уравнения; но тогда существует такие числа , что

т. е. для этих чисел выполняется равенство (6).