§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка

1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка.

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

,                              (1)

где  - заданные непрерывные на интервале  функции. Левую часть уравнения (1) обозначим через . Ее называют линейным дифференциальным оператором -го порядка.

Оператор  обладает свойствами:

1)  - однородность оператора;

2)  - аддитивность оператора.

Отметим, что однородный и аддитивный оператор называется линейным.

На основании этих свойств легко получаем, что

,                                             (2)

где  - произвольные постоянные.

Пример 1. .

Легко видеть, что .

Уравнение (1) можно записать в форме

.                                                (1')

Если , то уравнение

,                                                                    (3)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка. В связи с этим уравнение (1) называется неоднородным.

Мы считаем, что функции  непрерывны на интервале . Можно доказать, что для таких функций дифференциальное уравнение (1) имеет единственное определенное на том же (!) интервале  решение, удовлетворяющее начальным условиям

.

При этом, если функции  и  имеют на  непрерывные производные порядка , то указанное решение  имеет на  непрерывные производные до порядка  включительно.

Теорема 1. Если  являются решениями однородного уравнения (3), то их линейная комбинация  также является решением уравнения (3).

Это вытекает из равенства (2).