§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения

Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение -го порядка

                                                          (1)

к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию , т. е. уравнение имеет вид

.                                                     (2)

Введем новую функцию , тогда  и уравнение (2) перепишется так:

,                                                              (3)

т. е. относительно функции  оно представляет собой уравнение -го порядка.

Любое решение , этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение  и решить последнее относительно :

.

Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций

,

зависящих от  параметров . Ему соответствует семейство решений  дифференциального уравнения (2)

,

зависящих от  параметров .

Пример 1. .

Здесь функция  явно не входит в уравнение. Полагая , находим  и наше уравнение принимает вид . Разделяя переменные, имеем

,

т.е.

.

Но , значит, .

II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно независимую переменную :

.                                                     (4)

Будем считать в этом уравнении  независимым переменным, а  - искомой функцией. Обозначим .

Тогда

Подставляя эти значения в (4), получим дифференциальное уравнение  - го порядка относительно . Пусть , есть решение этого дифференциального уравнения, отличное от нуля на . Так как , то

.

Мы получили решение  исходного уравнения (4) в неявной форме. При этом оно зависит от произвольной постоянной .

Но часто функции  получаются в виде семейств функций

,

зависящих от  параметров . Им соответствующие решения  в свою очередь образуют семейство

функций, зависящих от  параметров .

Пример 2. .

Здесь  явно не присутствует, поэтому полагаем . Подставляя эти значения в уравнение, имеем  или .

Отсюда  и .

Если , то .

Если , то, разделяя переменные, получаем

III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция степени  относительно переменных , т. е.

.

Для понижения порядка вводим новую функцию  по формуле

.

Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

или в силу однородности функции

.

Так как , то отсюда  получаем  дифференциальное уравнение  - го порядка

.

Пусть  есть решение этого  уравнения. Так как , то

,

где  - произвольная постоянная. И если оказалось, что

,

то

,

где  - произвольные постоянные.

Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего примера.

Функция  - однородная функция второй степени по отношению . Функция  - решение уравнения. Будем считать, что . Полагая , имеем . Подставляя эти значения в уравнение, получаем

.

Отсюда . Функция  - решение данного уравнения (тогда  - решение исходного уравнения). Пусть , тогда

 - общее решение. Отметим, что решение  получается из общего при  .