Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка

Уравнение

                                                                      (1)

называется дифференциальным уравнением -го порядка.

Здесь  - функция, непрерывная вместе со своими частными производными  на некоторой области  точек -мерного пространства.

Разрешая уравнение (1) относительно  получаем

.                                                          (2)

Справедлива

Теорема 1 (существования). Пусть правая часть  уравнения (2), рассматриваемая как функция  переменных, непрерывна и имеет в некоторой окрестности  точки  непрерывные частные производные .

Тогда существует интервал  и определенная на нем  раз непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (2) и начальным условиям

.                                (3)

Функция , обладающая указанными свойствами, единственна.

Таким образом,  есть решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Если зафиксировать , то каждой системе чисел

,

обладающих свойством

,

будет соответствовать решение нашего дифференциального уравнения, которое (при фиксированном ) можно записать в виде

.                                                        (4)

В результате получаем семейство решений нашего дифференциального уравнения, зависящих от  параметров . Каждой определенной системе  параметров () соответствует свое решение дифференциального уравнения (со своим интервалом определения).

Можно в уравнении (2) ввести новые функции

.

Все они во всяком случае имеют непрерывную первую производную. Тогда уравнение (2) окажется эквивалентным следующей системе из  дифференциальных уравнений первого порядка:

                                                              (5)

Система (5) есть частный случай системы

                                                  (6)

из  дифференциальных уравнений первого порядка относительно  неизвестных функций .

Это нормальная система (разрешенная относительно производных ). Она есть частный случай системы

.                                                    (7)

Справедлива

Теорема 2 (существования). Пусть функции  непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, начиная со второй, в некоторой области  точек , и пусть задана определенная точка  этой области.

Тогда существует интервал  и определенные на нем непрерывно дифференцируемые (единственные) функции , удовлетворяющие системе (6) и начальным условиям

.                                                    (8)

Если функции  на  непрерывно дифференцируемы  раз, то соответственно и решения системы  обладают лучшими свойствами - они имеют непрерывную производную порядка .

Если зафиксировать , то каждой системе чисел

,

соответствует решение системы (6), которое можно записать (при фиксированном ) в виде

,                                                        (9)

где  — произвольные постоянные - параметры.

Выше было отмечено, что решение уравнения -го порядка может быть сведено к решению системы из  дифференциальных уравнений первого порядка с  неизвестными функциями. Но верно и обратное утверждение: решение системы (6) при определенных условиях может быть сведено к решению некоторого дифференциального уравнения -го порядка с одной неизвестной функцией.

Доказательство этого обратного утверждения представляет собой развитие соответствующего утверждения в случае  (см. § 1.12).

Пример. Свести систему

к дифференциальному уравнению третьего порядка.

Будем сводить нашу систему к дифференциальному уравнению относительно функции . Дифференцируя первое уравнение системы, с учетом двух других, имеем

.

Дифференцируя еще раз, получаем

.                             (10)

Из системы уравнений

                                                                 (11)

выражаем  и  через  и

                                                                       (12)

Подставляя эти значения  и  в (10), получим искомое уравнение третьего порядка относительно функции :

.

Решая это уравнение, найдем функцию , затем мы находим функции  и  по формулам (12).

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>