§ 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка

В уравнении

                                                                 (1)

наряду с его решением  введем функцию , полагая . Тогда оно будет эквивалентно следующей системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка:

                                                      (2)

относительно двух неизвестных функций  и .

В самом деле, пусть , есть решение дифференциального уравнения (1). Оно имеет вторую непрерывную производную на . Тогда  имеет первую непрерывную производную на . Таким образом, функции  и  имеют непрерывную производную и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (2).

Обратно, если две функции  имеют непрерывные производные на  и удовлетворяют системе (2), то из первого уравнения системы (2) следует, что  имеет вторую непрерывную производную на , а подставляя  из первого уравнения во второе, получим, что  есть решение дифференциального уравнения (1).

Система (2) есть частный случай системы

                                                              (3)

относительно известных функций  и .

Эта последняя, очевидно, есть частный случай

                                                     (4)

где мы будем предполагать, что функции  и  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по  в некоторой области точек .

Пара функций  называется решением системы дифференциальных уравнений (4), если эти функции определены на некотором интервале , зависящем от этих функций, имеют непрерывные производные и удовлетворяют на  системе (4).

Если решить уравнения (4) относительно  и , то получим систему вида (3) (конечно, предполагаем, что решение системы (4) относительно  и  возможно, что, как известно, обычно связано с неравенством нулю якобиана ).

Уравнения (3) (или (4)) образуют систему двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций  и .

Система (3), разрешенная относительно , называется нормальной.

Для нормальной системы (3) справедлива

Теорема 1 (существования). Пусть функции  и  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по  и  на области  точек , и пусть задана произвольная точка .

Тогда существует интервал  и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции , удовлетворяющие системе (3) и начальным условиям

                                                      (5)

Указанные функции  единственны.

При этом, если функции  и  имеют непрерывные частные производные порядка , то решения  и  непрерывно дифференцируемы  раз на указанном интервале .

Выше было показано, что решение уравнения (1) второго порядка относительно одной функции может быть сведено к решению двух уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций (система (2)).

Но общая система дифференциальных уравнений первого порядка вида (3) тоже сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. В самом деле, подставив в систему (3) вместо  и  некоторые ее решения  и продифференцировав по  первое уравнение, получим

.                             (6),

Наряду с (6) будем рассматривать также первое уравнение (3)

,                                                                  (3)

в котором подставлены .

Найдем  из (7) () и подставим в (6), тогда получим дифференциальное уравнение второго порядка

                                                    (8)

относительно рассматриваемой функции .

Мы получили, что если  - решения системы (3), то  - решение уравнения второго порядка.

Конечно, для того чтобы было возможным проделать эти выкладки, потребовались новые свойства от функций  и : непрерывная дифференцируемость  по  и возможность разрешить первое уравнение (3) относительго .