§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка

Уравнение

                                                             (1)

называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Предполагается, что  - заданная непрерывно дифференцируемая функция от точек  некоторой области  четырехмерного пространства.

Любая функция , имеющая на некотором интервале непрерывную производную второго порядка и удовлетворяющая уравнению (1), называется решением этого уравнения или его интегральной кривой.

Каждое из них  определено, вообще говоря, на некотором своем интервале . Конечно, для любого  из этого интервала точка

.

Нередко на решение, которое ищут, накладывают дополнительные условия. Особый интерес представляют такие условия, которые гарантируют единственное решение уравнения. Обычно эти условия имеют вид

                (2)

и называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения условия (2) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку , мы выделяем определенную интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона (, рис.15).

Рис.15

В уравнение (1) могут не входить явно все переменные , но  должно входить, иначе это уравнение не будет дифференциальным уравнением второго порядка, например, , .

Разрешим уравнение (1) относительно . Будем предполагать это возможным. Из теории неявных функций известно, что если функция  равна нулю в некоторой точке , имеет непрерывные частные производные в окрестности этой точки и частная производная в этой точке, то уравнение  имеет в некоторой окрестности указанной точки решение  и притом единственное.

Тогда уравнение (1) примет вид

,                                                                 (3)

где функция  задана на некоторой области  трехмерного пространства точек , непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные. Функция  может и не зависеть явно от некоторых из переменных . Например, это имеет место для уравнений , , , .

Пусть некоторая интегральная кривая  проходит через точку  и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный заданному числу  (т. е. ).

Этим однозначно определяется вторая производная от  в точке , равная

.

Однако возникает вопрос, если мы зададим и произвольные числа , то существует ли на самом деле интегральная кривая  уравнения (3), для которой  и , и как много таких интегральных кривых. Следующая теорема показывает, что если функция  в окрестности точки  достаточно гладкая, то такая интегральная кривая существует и притом одна.

Доказательство этой теоремы, так же как и теоремы 1 § 1.12 и теоремы 1 § 1.13, мы не приводим. Оно может быть проведено на основании принципа сжатых отображений.

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (3), рассматриваемая как функция трех переменных , заданная на трехмерной области , непрерывна и имеет на этой области непрерывные частные производные .

Тогда, какова бы ни была точка , существует интервал  и определенная на нем дважды непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению (3) и начальным условиям .

Функция, обладающая указанными свойствами, единственная.

Про функцию  говорят, что она есть решение (интегральная кривая) дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (2). Или еще говорят, что она решает задачу Коши для указанных начальных условий.

Каждое такое решение удобно записывать в виде

,

где  - параметры решения. Они независимы – их можно взять какими угодно, лишь бы точка .

Если зафиксировать , то каждой системе чисел , , , соответствует решение дифференциального уравнения (3), которое можно записать (при фиксированном ) в виде

,

где  - произвольные постоянные - параметры.

Пример. Найти интегральную кривую уравнения , проходящую через точку  и имеющую в ней угловой коэффициент касательной .

Легко проверить, что функция  является решением данного уравнения при любых постоянных  и . Далее . Чтобы высолнялись начальные условия, необходимо положить , . Итак, искомая интегральная кривая имеет вид: .