§ 1.10. Огибающая семейства кривых

Пусть дано семейство гладких кривых , определяемых уравнением

,                                                                       (1)

где  - произвольная постоянная (параметр) и функция , непрерывно дифференцируемая на некоторой области точек .

Кривая  называется огибающей семейства кривых (1), если она касается каждой кривой  семейства и при этом вся состоит из этих точек касания.

Точнее, огибающей  семейства , зависящей от параметра , где , называется гладкая кривая

,                                                    (2)

касающаяся при любом значении параметра , соответствующей кривой .

Кривые  будем огибаемыми (рис. 14).

Рис. 14

Найдем уравнение огибающей. Зададим значение . Ему соответствует на  точка , принадлежащая одновременно  и , в которой  и  имеют общую касательную.

Очевидно, имеет место тождество

.

Продифференцируем его по :

.

Вектор  направлен по касательной к , которая совпадает с касательной к  в точке . Но тогда (см. нашу книгу  «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление»,   § 8.16)

.

Следовательно,

,

т.е.

.                                                        (3)

в точке  касания  с . Для этой также выполняется также равенство

.

Таким образом, уравнение огибающей семейства (1) определяется двумя уравнениями

                                                             (5)

Равенства  (5) дают  необходимое условие существования огибающей, т. е. если семейство (1) имеет огибающую, то ее уравнение задается системой (5).

Если же мы составим систему (5) и решим ее, то решение системы не обязательно дает огибающую семейства (1).

Пусть теперь дано дифференциальное уравнение  и  - его общий интеграл.

Если семейство интегральных кривых  имеет огибающую, то ясно, что она также является интегральной кривой и, следовательно, особым решением.

Если же формально исключить  из системы

                                                                    (6)

то в некоторых случаях получим особое решение.

Если общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

где  - непрерывно дифференцируемая функция, то определяемое им семейство (всех решений дифференциального уравнения) на соответствующей области не имеет огибающей (см. теорему 1  § 1.2).

Если же функция  не является непрерывно дифференцируемой в некоторых точках , то совокупность этих точек может дать огибающую семейства.

Пример. .

Это уравнение Бернулли. Разделяя переменные, получим   - общий интеграл, где функция  непрерывно дифференцируема.

Составим систему (6):

Исключая , получаем . Проверкой убеждаемся, что  - решение исходного уравнения. Это особое решение (см. пример 1 § 1.9 и замечание к примеру 3 §1.2) и огибающая семейства кривых .

Если рассматривать общий интеграл в разрешенной относительно  форме: , то функция  не является непрерывно дифференцируемой в точках оси , которая, как мы убедились, является огибающей семейства кубических парабол.