1.15.3. Определитель Вронского.

Теорема 2. Если функции  линейно зависимы на  и имеют производные до -го порядка, то определитель

.                                   (7)

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначается символом .

Доказательство. Так как функции  линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество (4) на . Дифференцируя его  раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение  (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если  хотя бы в одной точке , то функции  линейно независимы на .

Пример 2. Функции  линейно независимы на любом , так как

.

Пример 3. Функции  линейно независимы на любом , если  - различные числа (действительные или комплексные).

В самом деле.

,

так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных  не равен нулю.

Пример 4. Функции  линейно независимы на любом .

Так как  и

,

то линейная независимость указанных функций вытекает из второго примера.

Теорема 3. Для того чтобы решения  линейного дифференциального однородного уравнения  с непрерывными коэффициентами были линейно независимыми на , необходимо и достаточно, чтобы  для всех .

Доказательство. 1) Если  на , то функции  линейно независимы независимо от того, являются они решениями уравнения  или нет (см. замечание).

2) Пусть  являются линейно независимыми функциями на  и являются решениями уравнения .

Докажем, что  всюду на . Допустим противное, что существует точка , в которой . Выберем числа , одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

                                                           (8)

Это можно сделать, так как определитель системы (8) есть . Тогда в силу теоремы 1 функция  будет решением уравнения  с нулевыми начальными условиями (по (8))

.

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим  начальным условиям, может быть только одно, следовательно,  на  т. е. функции  линейно зависимы на , что не предполагалось. Теорема доказана.

Если  - разрывные функции в интервале, где мы ищем решение, то уравнение  может иметь не одно решение, удовлетворяющее начальным условиям , и тогда возможно, что  на .

Пример 5. Легко проверить, что функции

линейно независимы на  и для них  на .

Это связано с тем, что функция  является общим решением уравнения

,

где  разрывна в точке . Для этого уравнения теорема существования и единственности не имеет места (в окрестности точки ). Не только функция , но и функция  является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим условиям  и  при .