§ 6.10. Ряд Лорана

Теорема 1. Пусть . Всякая аналитическая в кольце

                       (1)

функция  однозначно представляется в этом кольце в виде сходящегося ряда

,               (2)

где

           ,                   (3)

а  - любая окружность , , ориентированная против часовой стрелки.

Ряд (2) называется рядом Лорана функции  по степеням  или разложением Лорана функции  в кольце .

Замечание. Когда говорят, что ряд  сходится, под этим подразумевается, что сходятся отдельно ряды  и .

Доказательство теоремы 1. Возьмем ориентированные против часовой стрелки окружности  и  радиусов  и  с центром в точке , где  (рис. 146).

Рис. 146

В силу условия теоремы  аналогична в кольце между окружностями  и  и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для сложного контура имеем

или

,                  (4)

где  - точка между окружностями  и .

В первом интеграле точка  обозначает точку окружности , поэтому

,

,                  (5)

причем ряд справа сходится равномерно для  (при фиксированном ).

Во втором интеграле точка  обозначает точку окружности , поэтому

,

,                 (6)

причем ряд справа сходится равномерно для всех  (при фиксированном ).

Подставляя (5) и (6) в (4) и почленно интегрируя, получаем

.              (7)

Так как функция  при любом  аналитична в кольце, то в силу теоремы Коши интеграл (3) равен подобному интегралу по любой другой окружности, в частности по  и . Поэтому из (7) следует (2), где числа  вычисляются по формулам (3).

Первый ряд  в правой части (2), сходится в круге  к некоторой аналитической в этом круге функции . Он называется правильной частью ряда Лорана.

Второй ряд в правой части (2)

,

сходится при . Он определяет некоторую аналитическую функцию , называемую главной частью ряда Лорана.

Итак,

,

где  - функция аналитическая в круге , а  - вне круга радиуса  с центром с точке  (). Внутри кольца  обе эти функции аналогичны.

Коэффициенты ряда Лорана  рассматриваемой функции  единственны, потому что они вычисляются по формулам (3).

Пример 1. Функция

аналитична на плоскости , за исключением точек  и .

а) Функция  аналитична в круге , и потому на основании теоремы 1 § 6.9 ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням , сходящийся в круге :

.                    (8)

Числа  можно вычислить по формуле

  .            (9)

Однако в данном случае ряд (8) можно также получить, применив формулу для суммы членов убывающей геометрической прогрессии. Имеем (если )

,

.

Поэтому для нашей функции .

В силу единственности разложения функции в степенной ряд полученные числа  равны соответственно числам , вычисляемым по формуле (9).

б) Функция  аналитична в кольце . Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана

,                     (10)

   ,                   (11)

где  - окружность , , ориентированная против часовой стрелки. Но числа  можно получить, не прибегая к сложным формулам (11). Имеем для

,

.

Поэтому ряд Лорана функции  целый вид

.

Вследствие единственности разложения в ряд Лорана полученные коэффициенты равны соответственно числам , определяемым по формулам (11).

в) Функция  аналитична также во внешности круга , т. е. для значений , удовлетворяющих неравенству  и обладает свойством

.                        (12)

Поэтому  можно разложить в ряд Лорана вида

.                      (13)

Члены вида  () не могут входить в разложение Лорана функции , т. е.  для указанных . Иначе это противоречило бы свойству (12).

Числа  здесь тоже можно получить непосредственно. Имеем для

,

.

Поэтому

.

Пример 2. Надо разложить функцию

              (14)

в ряд Тейлора по степеням  и определить радиус сходимости этого ряда.

Решение. Наибольший крут с центром в точке , внутри которого функция  аналитическая, имеет радиус, равный расстоянию от точки  до ее ближайшей особой точки. Таковой является, очевидно, точка . Следовательно, указанный радиус равен

.

Обозначим через  открытый круг (без границы) с центром в точке  радиуса .

Внутри круга  функция  аналитическая, а любой концентрический ему круг большего радиуса содержит в себе особую точку , в которой аналитичность нарушается.

На основании теоремы 1 § 6.9 функция  разлагается в ряд Тейлора по степеням . Этот ряд легко получить эффективно.

Имеем

,                   (15)

и мы получили степенной ряд по степеням , сходящийся, очевидно, в круге , .

Далее

.

Снова получен степенной ряд по степеням , тоже сходящийся в круге . На самом деле он сходится в круге радиуса , но это нам не понадобится.

Разность рядов (16) и (15) есть разложение в ряд Тейлора по степеням  функции . Радиус сходимости этого ряда равен .

Задача. Разложить функцию  (см. (14)) в ряд Лорана по степеням : а) в кольце  и б) в окрестности .