§ 6.9. Степенной ряд

Рассмотрим степенной ряд

           ,  (1)

имеющий радиус сходимости .

Из теории степенных рядов мы знаем, что ряд (1) равномерно сходится на круге , где  - любое положительное число, меньшее . Поэтому сумма  ряда (1) - непрерывная функция в открытом круге . Больше того,  имеет на этом круге непрерывную производную  любого порядка, которую можно вычислить путем почленного дифференцирования ряда (1). Это показывает, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция в круге (открытом!) его сходимости. Числа  вычисляются по формуле

            ,                        (2)

что показывает, что степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. В силу равенств (3) § 6.8 эту формулу можно заменить следующей:

           ,

где  - произвольный контур, ориентированный против часовой стрелки, принадлежащий к кругу сходимости ряда (1) и содержащий внутри точку .

Но верна также

Теорема 1. Функция  аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням .

Доказательство. Пусть  аналитическая в круге . Обозначим через  любую точку внутри этого круга (рис. 145). Опишем положительно ориентированную окружность  с центром в точке  и радиуса  так, чтобы точка  оказалась внутри контура . Тогда функция  будет аналитической на контуре  и внутри него. Поэтому по теореме Коши

                       (3)

Рис. 145

Дробь  можно представить в виде

                 (4)

Так как точка , a  находится внутри этого контура, то

.             (5)

Поэтому  - можно рассматривать как сумму сходящейся геометрической прогрессии

                    (6)

Из (4) и (6) получаем

  (7)

причем ряд (7) равномерно сходится при любых  и постоянном , потому что, как это видно из (5), выражение  зависит от  и меньше 1.

Умножая (7) на  (не нарушая его равномерной сходимости) и интегрируя вдоль  имеем

.

В силу (3)

,                   (8)

где мы обозначили

    .                        (9)

Итак, мы доказали, что аналитическая функция  в круге  изображается степенным рядом (8) с коэффициентами (9), т. е. своим рядом Тёйлора.

Пример 1. При разложении функций в ряд Тейлора можно использовать известные разложения элементарных функций. Например,

,

поэтому

.

Пример 2. Функция  в достаточно малой окрестности  является аналитической функцией . Поэтому данную функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням , хотя общий вид коэффициента трудно вычислить. Имеем по формуле (2): , , , , т. е.

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции  и . Имеем , поэтому

, .