§ 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты

В § 6.10 была доказана теорема 1, утверждающая, что если  и функция  аналитична в кольце

,

то она разлагается в сходящийся к ней ряд Лорана

       ,                   (1)

где

                (2)

Пусть . Предполагается, таким образом, что функция аналитична в открытом круге , из которого выколота точка . В самой точке  функция  чаще всего бывает не определена.

Говорят в этом случае, что  есть изолированная особая точка функции . Ниже будет дана классификация изолированных особых точек.

Степенной ряд

         

имеет радиус сходимости . Поэтому его сумма имеет непрерывную производную в круге .

Рассмотрим три случая (при ).

Случай а). Функция  имеет вид

,         (3)

т. е. все числа  (). Так как степенной ряд (3) сходится для всех  с , то его радиус сходимости равен  и, следовательно (см. § 6.9), его сумма  определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга , в том числе и в точке . Таким образом, функция  аналитична в этом круге.

Поэтому, если принять, что

,

то и функция  будет аналитической в этом круге.

В этом случае говорят, что особенность у функции  в точке  устранима. Достаточно положить , как функция  станет аналитической не только поблизости от точки , но и в самой точке.

Заметим, что в данном случае интеграл

   (4)

для любого замкнутого контура , содержащего внутри точку  и принадлежащего к кругу .

Случай б). Функция  имеет вид

       .                  (5)

Таким образом,  для . В этом случае говорят, что точка  есть полюс функции  порядка (кратности) . При  точку  называют еще простым полюсом.

Так как

и

,                  (6)

то

.                      (7)

Теперь, если  - контур, ориентированный против часовой стрелки, содержащий внутри  и принадлежащий к кругу , то

.                (8)

В самом деле,

,

потому что

,         

(см. (10), (11) § 6.6).

Случай в). Функция  имеет вид

,                           (9)

где в ряду

не равно нулю бесконечное число коэффициентов .

В этом случае говорят, что функция  имеет в точке  существенную особенность.

Мы знаем, что

.

Однако  при указанных условиях не стремится при  к какому-нибудь пределу - конечному или бесконечному. Этот факт мы не имеем возможности здесь доказать и скажем только, что он вытекает из известной теоремы Сохоцкого.

Заметим, что рассуждения, которые приводились при доказательстве равенства (6) в случае полюса, в данном случае неприменимы, потому что для бесконечных сумм операция почленного предельного перехода не всегда законна.

Пример 1. Функция  имеет существенную особенность в точке . Эта функция не имеет предела в точке .

В самом деле, при  ( - действительное) , когда . Однако если , то  при . Значит, предел в точке  у функции  не существует.

Для любого ориентированного против часовой стрелки контура , принадлежащего к кругу  и содержащего внутри точку , так же как в случае полюса

.                (10)

Дело в том, что интеграл по  в данном случае (см. замечание 2 § 6.6) можно заменить на интеграл по какой-либо ориентированной против часовой стрелки окружности  с центром в точке , принадлежащей к кругу . Но на  ряды (9) равномерно сходятся и, следовательно, их можно почленно проинтегрировать по . Однако, как мы знаем,

  и ,

откуда следует равенство (10).

Сделаем теперь определение: пусть  есть изолированная точка функции , т. е. пусть функция  аналитическая в некотором круге

,

из которого выколота точка . Вычетом функции  в точке  называется интеграл

,     (11)

где  - контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащий в себе точку .

На основании сказанного выше (см. случаи а), б), в)), если

          

есть ряд Лорана  в точке , то

.                    (12)

Поэтому, если известно разложение функции в ряд Лорана по степеням , то вычет в точке  легко находится.

В частности, если  - устранимая особая точка, то .

Иногда разложить функцию  в ряд Лорана трудно, и поэтому приходится искать другие способы вычисления вычета, не разлагая функцию в ряд Лорана.

Пусть  - полюс порядка . Тогда

      .                  (13)

Умножая левую и правую части (13) на , имеем

.        (14)

Если продифференцировать равенство (14)  раз, то свободный член справа будет равен  и, следовательно,

,

откуда

.                  (15)

Если функция , где , а  имеет простой нуль при  , то  является простым полюсом . На основании формулы (15) (при ) имеем

.

Таким образом, в данном случае

.     (16)

В случае, когда  - существенно особая точка, у нас имеется только один способ вычисления вычета - разложение функции  в ряд Лорана.

Пример 2. Найти вычет функции  в точке .

В данном случае , где , . Точка  является простым полюсом функции , так как , , , . Значит, по формуле (16) получаем

.

Пример 3. Найти вычет функции  в точке . Имеем

Таким образом, точка  является существенно особой и

.

Пример 4. Найти вычет функции

относительно точки .

Данная точка является полюсом второго порядка, поэтому по формуле (15) имеем

.