§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы.

Пусть  и  - функции, непрерывные на некоторой области  плоскости .

Выражение

                                 (1)

называют дифференциальным уравнением первого порядка.

На саном деле выражение (1) объединяет в себе два дифференциальных уравнения первого порядка - относительно функции  и относительно функции .

В первом случае под решением уравнения (1) понимается функция , определенная на некотором (зависящем от нее) интервале , имеющая непрерывную производную и удовлетворяющая уравнению (1):

Так как дифференциал  от независимой переменной  не равен нулю, то в этом уравнении можно на  сократить и получить, что  удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка, записанному в обычной форме:

.                                    (2)

Относительно решений вида  дифференциальные уравнения (1) и (2) эквивалентны.

Аналогично рассуждая, мы получим, что относительно решений вида  дифференциальное уравнение (1) эквивалентно следующему:

                                      (3)

Изучим подробнее дифференциальное уравнение (2) (относительно ).

Пусть функция  отлична от нуля всюду на  . Тогда она в силу ее непрерывности на связном множестве  либо всюду на  положительна, либо всюду на  отрицательна. В этом случае уравнение (2) можно записать в форме разрешенной относительно :

,                                     (2')

т. е. уравнения (2) и (2') эквивалентны на . Если же функция  равна нулю в некоторых точках , то уравнения (2) и (2') будут эквивалентными только на части  области , где функция  отлична от нуля.

Пусть в точке  функция N обращается в нуль . Если при этом , то уравнение (2), очевидно, не имеет решения, проходящего через эту точку, - ведь второе слагаемое в левой части (2) при  равно нулю, а первое по условию не равно нулю.

 Если же наряду с равенством  выполняется также равенство , то через точку  может проходить решение - одно или несколько или даже бесконечное число решений. Мы увидим это далее из примеров.

Подобное замечание можно сделать и в отношении дифференциального уравнения (3). Надо только в этих рассуждениях поменять местами  и , а также  и .

Разберем еще случай, когда обе функции  и  отличны от нуля всюду на . В этом случае правая часть уравнения (2') тоже отлична от нуля всюду на  и имеет один и тот же знак. Но тогда решение  дифференциального уравнения (2') имеет производную  того же знака. Это показывает, что решение  строго монотонно на том интервале , где оно задано. Но тогда оно имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию  на некотором интервале . При этом

 что  показывает, что обратная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (3).

Итак, мы получили, что если обе функции  и  отличны от нуля всюду на , то всякое решение уравнения (1) вида  имеет обратную функцию , являющуюся тоже решением этого уравнения, но вида .