1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.

Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, если

Оно имеет вид

.                                                                              (4)

Далее будем считать, что и  - непрерывные функции. Пусть  есть решение дифференциального уравнения (4) в прямоугольнике

,

определенное на некотором интервале .

Тогда имеет место тождество

,

откуда, интегрируя, получим

.

Здесь интегралы  и  суть некоторые выбранные нами первообразные от  и :

во втором равенстве произведена замена переменной  в  неопределенном интеграле (см. вашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.2); константа  зависит от решения .

Итак, любое решение  нашего дифференциального уравнения в указанном прямоугольнике удовлетворяет уравнению

 при некоторой постоянной  или уравнению

.                                                                               (5)

Левая часть равенства (5) есть функция , непрерывно дифференцируемая на прямоугольнике

,

со свойствами

.

Если продифференцировать формально (5) по , считая, что , то получим

,

т. е. исходное дифференциальное уравнение (4).

Таким образом,  равенство (5) есть общий интеграл дифференциального уравнения (4) для его решений вид . Согласно теореме 1 §1.2 все непрерывно дифференцируемые на  решения  уравнения (5) при любых постоянных  являются решениями дифференциального уравнения (4) вида  и обратно. Впрочем, обратное утверждение мы доказали непосредственно.

Рассуждая аналогично, меняя местами роль  и , мы снова получим равенство (5), но только теперь это будет общий интеграл, содержащий всевозможные решения вида , нашего дифференциального уравнения (4).

Таким образом, равенство (5) будет общим интегралом дифференциального уравнения (4) как для решений вида , так и для решений вида .

Пример 1. .

 - общий интеграл.

Пример 2..

Эти интегралы нельзя выразить в элементарных функциях. Все же мы считаем задачу, с точки зрения теории дифференциальных уравнений, решенной.