§ 3.14. Соленоидальное поле

Поле (область)  вектора  называется соленоидальным (трубчатым), если дивергенция  на  равна нулю:

.

В силу теоремы Гаусса-Остроградского для соленоидального поля имеет место равенство

для любой замкнутой ориентированной (во вне ) кусочно-гладкой поверхности , являющейся границей области , т. е. находящейся строго внутри .

В частности, если  находится внутри замкнутой поверхности  и вне замкнутой поверхности , как на рис. 106, то

или

,

где  - та же поверхность, что , но ориентированная противоположно (во внутрь ).

Рассмотрим в  область  специального вида (рис. 107) - трубку с границей , состоящей из трех гладких кусков:

;

при этом по условию в любой точке  вектор  касательный к . Тогда

Рис. 106                                                      Рис. 107

и

или

.

Мы видим, что поток вектора  через  равен потоку его через , т. е. если, например,  есть скорость текущей в  жидкости, то количество жидкости, втекающее в единицу времени в трубку, равно количеству вытекающей из трубки жидкости.