§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского

Пусть  есть трехмерное пространство, где задана прямоугольная система координат  и  - область с кусочно-гладкой границей , на которой определено поле вектора

.                                       (1)

Будем предполагать, что  непрерывны на , откуда следует, что для вектора  имеет смысл непрерывная функция

,                                              (2)

называемая дивергенцией вектора .

Легко видеть, что

,

т. е. дивергенция равна скалярному произведению символического вектора  (оператора Гамильтона) (см. § 3.4) и вектора .

Будем считать, что поверхность  ориентирована при помощи единичной нормали , направленной во внешность .

Целью нашей будет доказать равенство

                                                   (3)

при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на . Это равенство называют формулой Гаусса-Остроградского по имени математиков, ее доказавших.

Формула Гаусса-Остроградского говорит, что объемный (тройной) интеграл от дивергенции вектора по области  равен потоку вектора через границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали.

Рис. 103

Начнем с того, что рассмотрим область , изображенную на рис. 103, которую мы будем называть элементарной -областью. Снизу и сверху  ограничена поверхностями  и  с кусочно-гладкими краями, определяемыми соответственно уравнениями

,

где  - плоская область с кусочно-гладкой границей , а  непрерывны на  и имеют непрерывные частные производные на открытом множестве . С боков  ограничена цилиндрической поверхностью  с направляющей  и образующей параллельной оси .

Пусть  есть граница , ориентированная при помощи внешней к  нормали (пояснения ниже). Тем самым нижний и верхний куски , так же как боковая поверхность  области , соответственно ориентированы. Для области  имеют место равенства (пояснения ниже)

  (4)

Нормаль  к  образует с осью  соответственно тупой и острый углы, поэтому проекции , кусков  на плоскость  ориентированы первая отрицательно, а вторая положительно. Это обосновывает переход от третьего члена цепи (4) к четвертому. К сумме, составляющей четвертый член, можно формально добавить интеграл

,

потому что  вдоль . Но тогда полученная сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в качестве последнего члена цепи (4) (потоку вектора  через ).

Этим мы доказали теорему Гаусса-Остроградского для элементарной -области и вектора .

Назовем теперь область  -областью, если ее замыкание  можно разрезать на конечное число элементарных -областей

так, что нижние и верхние куски границы  суть части ориентированной границы  области , и докажем, что для  и вектора  тоже справедлива теорема Гаусса-Остроградского.

В самом деле, обозначим соответственно через  нижние и верхние куски границ , и через  - боковые куски . Тогда (пояснения ниже)

потому что интегралы по , очевидно, равны нулю, а куски  и , составляют в совокупности поверхность , либо только часть , а остальная часть  с  имеет нормаль в любой ее точке перпендикулярную к оси . Но тогда интеграл по  равен нулю.

По аналогии можно ввести понятия -области и -области. Например, -область обладает тем свойством, что ее замыкание можно разрезать на конечное число замыканий элементарных -областей. Элементарная же -область определяется так же, как элементарная -область, только роль  теперь играет . По аналогии доказывается, что для -области  имеет место равенство

,

т. е. формула Гаусса—Остроградского для вектора , а для  -области  - формула

.

Если теперь  есть одновременно  и - область, то для нее, очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградского для произвольного непрерывно дифференцируемого на  вектора , т. е. верно равенство

,            (5)

где интеграл справа есть интеграл по поверхности , ориентированной внешней нормалью к .

Если в формуле Гаусса—Остроградского положить , то получим выражение для объема области

через интеграл по ее ориентированной внешней нормалью границе .

Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являются одновременно  - областями.

Пример 1. Шар  есть -область, даже элементарная -область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими друг над другом гладкими на круге  поверхностями

,

непрерывными на замкнутом круге , имеющем гладкую границу. Очевидно, шар есть также  и -область.

Пример 2. Тор. В плоскости  зададим окружность радиуса  с центром в точке . Ее уравнение имеет вид . Вращение данной окружности как твердого тела в пространстве  вокруг оси  приводит к поверхности , называемой тором (на рис. 104 показана половина тора). Уравнение тора в декартовых координатах имеет вид

Рис. 104

Чтобы убедиться в том, что  есть -область, достаточно поверхность  разделить на две части плоскостью . Далее, плоскости  рассекают  на четыре элементарные -области, а плоскости  - на четыре элементарные -области.

Формула Гаусса—Остроградского преобразует объемный интеграл в интеграл по поверхности.

Чтобы выяснить физический смысл понятия дивергенции, будем считать, что в  имеет место стационарное течение жидкости, скорость которой в произвольной точке  равна . Зададим произвольную, но фиксированную точку  и окружим ее шаром  радиуса . Пусть  есть его граница (шаровая поверхность), ориентированная посредством внешней нормали. Тогда на основании формулы Гаусса-Остроградекого

.

Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вытекающее из  (вовне ) за единицу времени. Применяя к правой его части теорему о среднем, получим

,                                     (6)

где  есть объем , а  - скорость жидкости в некоторой точке из . Разделив обе части полученного равенства на  и перейдя к пределу при , получим в силу непрерывности , что существует предел, равный дивергенции :

                                                             (7)

в точке . Таким образом,  представляет собой производительность источников, непрерывно распределенных по  в точке . Если в точке  (или всюду на ) , то это значит, что в  (или всюду на ) производительность источников равна нулю. Если , то это значит, что на самом деле в соответствующей точке имеет место сток.

Из физических соображений ясно, что  есть инвариант относительно любых преобразований прямоугольных координат. Но это заключение можно сделать и на основании математических соображений.

Как мы знаем (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 18) скалярное произведение векторов есть ивариант при преобразованиях координат, поэтому и дивергенция (равна скалярному произведению символического вектора  и вектора ) есть инвариант относительно преобразований прямоугольных координат. Конечно, мы считаем (по определителю), что координаты символического вектора  преобразуются по тем же формулам, что и координаты обычных векторов. Точнее, если формулы преобразования от координат  точки (вектора) в первой системе координат к ее координатам  во второй системе имеют вид

,                        (8)

где  - соответствующая ортогональная матрица, то

.                                 (9)

Оператор Гамильтона применяется к дифференцируемой функции . В результате мы получаем вектор

,

называемый, как мы знаем, градиентом функции . Функция  в этом исчислении считается скаляром. Таким образом,  есть произведение вектора  на скаляр  - результат есть вектор.

В системе координат

,

где  - орты системы . При этом в силу (9)

.     (10)

Формулы (10) согласуются с правилами дифференцирования сложной функции , у которой

.                                      (11)

Формулы (11) являются обратными к формулам (8) (, т. е. координаты  выражаются через координаты  с помощью -го столбца матрицы ).

Здесь мы получили формулы (10), пользуясь только символическим исчислением.

Теперь, если одно и то же поле вектора определено в двух прямоугольных системах координат  и  соответственно функциями

где координаты  и  связаны по формулам (8), (11) (с заменой в них  на ), то в одной и той же точке

.

Таким образом, мы еще раз доказали инвариантность дивергенции при преобразованиях прямоугольных координат пользуясь только символическим исчислением.

Формулу Гаусса—Остроградского можно записать в плоском случае, когда  есть область в плоскости  и

 - определенное на ней поле. Если  есть внешняя нормаль к кусочно-гладкому контуру  области , то имеет место равенство

,

где  - дифференциал дуги .

Рис. 105

Если считать, что направление касательной в точке  совпадает с положительным направлением обхода по , вдоль которого исчисляется также длина дуги контура , то (рис. 105)

Поэтому

Если в этой формуле заменить соответственно  на , то мы придем к формуле Грина, которая была получена в § 3.7.