§ 4.6. Коэффициенты Фурье

Допустим, что функция  периода  разложена в тригонометрический ряд

,                                              (1)

и оказалось, что этот ряд равномерно сходится к ней.

Каждый член ряда (1) есть непрерывная функция, и так как ряд (1) по условию равномерно сходится, то его сумма  есть непрерывная (на действительной оси) функция (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 2).

Помножим левую и правую части (1) на , где  - натуральное число. Так как функция  непрерывна и ограничена, то полученный ряд снова будет состоять из непрерывных функций и снова будет равномерно сходиться, теперь уже к непрерывной функции . Но равномерно сходящиеся ряды непрерывных функций законно интегрировать почленно на конечном отрезке. Проинтегрируем полученный ряд почленно на периоде, т. е. на отрезке :

Второе равенство следует из ортогональности тригонометрических функций и формул (3) § 4.5.

Аналогично получим

и

в силу последних трех формул (2) § 4.5.

Как уже отмечалось в § 4.4, (2), числа , вычисляемые по формулам (2) § 4.4, называются коэффициентами Фурье функции , а сам тригонометрический ряд (1), где  и  — коэффициенты Фурье функции , называется рядом Фурье функции .

Итак, мы доказали, что если функция  представима в виде суммы тригонометрического ряда (1), равномерно сходящегося (для всех !), то числа  необходимо являются коэффициентами Фурье функции .

Замечание 1. Таким образом, всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

Замечание 2. Мы рассмотрели здесь функцию  периода , чтобы не усложнять записи. Для периода  рассуждения аналогичны.