§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье

Теорема 1. Пусть функция  периода  имеет непрерывную производную  порядка , удовлетворяющую на всей действительной оси неравенству

;                                                (1)

тогда коэффициенты Фурье функции  удовлетворяют неравенству

.           (2)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что , имеем

                     (3)

Поэтому

.

Интегрируя по частям правую часть (3) последовательно, учитывая, что производные  непрерывны и принимают одинаковые значения в точках  и , а также оценку (1), получим первую оценку в (2).

Вторая оценка в (2) получается подобным образом.