§ 4.14. Примеры

Справедливы равенства (пояснения ниже)

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9)

10) .

11)

Пользуясь обычными методами теории неопределенных интегралов, не видно, как можно вычислить интегралы, стоящие в правых частях равенств 1)-3). С другой стороны, функции 1)-3) кусочно-гладкие и принадлежат к . Поэтому к ним применима формула представления (1) § 4.13. Эта формула упрощается и имеет вид (2) § 4.13, если  - четная функция, а если  - нечетная, то она имеет вид (3) § 4.13. Например, функция (1) четная и потому

,

где надо считать, что в точках разрыва  выполняется равенство

.

Интегралы 4), 5) вычисляются интегрированием по частям. Используя равенство 4), имеем

,

где последнее равенство имеет место в силу формулы (2) § 4.13, применимой, потому что  - гладкая функция. Итак, равенство 6) доказано.

Подобными рассуждениями получается формула 7) из 5) применением формулы (3) § 4.13.

Функция 8) нечетная кусочно-гладкая. Чтобы получить нужный интеграл, представляем ее по формуле (3) § 4.13, где внутренний интеграл равен

Представление функции 9) получается аналогично с применением формулы (2) § 4.13.

Функция 10) четная. Чтобы получить нужный интеграл, представляем ее по формуле (2) § 4.13, где внутренний интеграл равен

Последнее равенство записано в силу 4).

Аналогичные рассуждения проходят для функции 11) при использовании формулы (3) § 4.13.

Наконец, приведем еще один пример, методика вычисления которого отлична от предыдущих.

12) Найти косинус-преобразование функции .

Пусть

.

Легко видеть, что (см. § 2.13, пример 3)

Дифференцируя функцию , получаем

.

(дифференцирование законно, так как последний интеграл равномерно сходится). Интегрируя по частям, производную  можно представить в виде ().

.

Решая последнее дифференциальное уравнение первого порядка, имеем

.

Из условия , находим, что . Таким образом,

.