§ 4.15. Приближение интеграла Фурье

Поясним физическую сторону понятия интеграла Фурье. Рассмотрим непериодическое движение, при котором ордината  некоторой точки есть функция  от времени .

Функцию  можно записать следующим образом:

.

При достаточно большом натуральном , а затем при достаточно малых  приближенно

              (1)

Первое приближение можно осуществить с любой точностью во всяком случае, если интегралы от  и  (следовательно, и от ) абсолютно сходятся на , в частности, если функции ,  (следовательно, ) равны нулю для , где  - некоторое число. Второе приближение можно осуществить во всяком случае для значений , принадлежащих к произвольному заданному отрезку . При этом для заданного отрезка подбираем нужные числа , делящие  на равные части. Но тогда движение  будет приближенно равно на отрезке времени  сумме гармонических колебаний - даже с общим периодом.

Спектром периодической функции  называют совокупность ее коэффициентов Фурье. По спектру, в частности, видно, из каких нетривиальных (не равных тождественно нулю) гармоник состоит периодическое движение .

Спектром непериодической функции  называются порождаемые ею функции  и  или функция .

Если  и  равны нулю вне интервала , то сумма, приближающая  по формуле (1), состоит из гармонических колебаний с частотами .

Функцию тоже называют спектром .