§ 4.16. Сумма Фейера

Выше мы рассмотрели ряды Фурье функции  и установили достаточные признаки сходимости ряда Фурье к функции .

Математики Э. Дюбуа, Реймонд и Л. Фейер построили примеры непрерывных функций, ряды Фурье которые расходятся в одной точке или на множестве всех рациональных точек периода .

Таким образом, если про функцию  известно только, что она непрерывна, то этого недостаточно, чтобы сказать, что ее ряд Фурье сходится. Для сходимости нужно наложить на функцию  еще некоторые добавочные условия. В наших признаках такими добавочными условиями были существование производной у функции  или же она должна удовлетворять условию Дирихле (быть кусочно-монотонной или, как еще говорят, иметь конечное число максимумов и минимумов).

Впрочем, эти условия могут быть заменены на более общие достаточные условия, на которых мы не будем останавливаться.

Класс периодических и непрерывных на всей действительной оси функций будем обозначать через . В этом классе (пространстве) можно ввести норму:

.

Свойства нормы (см. § 4.8) легко проверяются.

Итак, ряд Фурье функции  не обязательно сходится к  во всех точках .

В связи с этим приобретает большое значение тот факт, что ряд Фурье произвольной функции  суммируется к ней методом средних арифметических (см. § 9.16 нашей книги «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление») и притом равномерно на всей действительной оси.

Зададим функцию  и составим для нее ряд Фурье

Пусть

 - -я средняя арифметическая сумма Фурье функции  и

                                       (1)

 - -я средняя арифметическая сумма Фурье функции .

Функция  называется суммой Фейера порядка . Первой  нашей задачей будет получить компактное выражение для . Так как (см. (16) § 4.12)

то

Здесь

- ядро Дирихле.

Чтобы упростить выражение в квадратных скобках под знаком интеграла, предварительно подсчитаем сумму:

.                                            (2)

Умножая левую и правую части равенства (2) на , получим

или

Из последнего равенства находим, что

                                  (3)

На основании (3) получаем

Таким образом,

,                                      (4)

где

.                                                              (5)

Функция  называется ядром Фейера порядка .

Легко видеть, что

                          (6)

Поэтому сумму  можно еще записать так:

                                         (7)

Замечание. Из формулы (7) видно, что сумма Фейера  отличается от суммы Фурье  функции  тем, что каждый член  суммы  умножен на число

.

Отметим следующие свойства ядра Фейера :

1)  - неотрицательный, четный тригонометрический полином порядка  (см. (5) и (6));

2)                                        (8)

(см. (6), учесть ортогональность функций  к единице);

3) для всякого числа

Теорема 1 (Фейера). Для любой непрерывной на действительной оси функции  периода  (т. е. ) ее сумма Фейера порядка  равномерно стремится к ней при , т.е.

.                        (9)

Доказательство. В силу свойства 2) ядра Фейера имеем

                    (10)

В силу (10) и свойства 1) ядра  имеем

                           (11)

где  - пока произвольное число .

Так как по условию теоремы функция  непрерывна, то она обязательно ограничена

.

Тогда

,                               (12)

для любых  и .

Далее функция  равномерно непрерывна на , поэтому для любого  можно указать число  такое, что

,                                   (13)

при  и любых .

Теперь, взяв в (11)  такое, как указано в (13), на основании свойства ядра 2), с учетом (12) и (13), получаем

Теперь при достаточно большом  на основании свойства 3) ядра  второе слагаемое справа в последнем неравенстве при  можно сделать меньшим . Итак, окончательно получаем

.

Таким образом,

,                   (14)

т. е. последовательность  равномерно сходится на  функции . Теорема доказана.

Мы уже отмечали выше, что средние арифметические числового ряда могут стремиться к пределу, в то время как сам ряд может расходиться (см. § 9.16, пример 2 в нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление»). Это явление как раз имеет место для рядов Фурье непрерывных функций.

Существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится на множестве всех рациональных чисел (счетное множество), однако это не мешает тому, как это мы доказали, что средние арифметические суммы Фурье для любой непрерывной функции  сходятся к  и даже равномерно.

Следствие (теорема Вейерштрасса). Для любой периодической непрерывной на действительной оси функции  и любого  найдется тригонометрический многочлен  такой, что

.

Для доказательства достаточно в качестве  взять сумму Фейера  при достаточно большом .