|
Читать в оригинале |
| << Предыдущая | Оглавление | Следующая >> |
1.3.4. Однородные уравнения.
Функция 
называется однородной степени 
, если для любых 
и 
полняется равенство
.
Если функции и 
однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение
(7)
называется однородным.
Его можно преобразовать следующим образом
,
т.е.
, (8)
где 
- некоторая функция от одного переменного.
Введем вместо 
новую функцию 
(от 
) при помощи подстановки
.
Тогда
или
Следовательно,
или
где 
- произвольная постоянная.
Отметим более общее уравнение, чем (8):
. (9)
Его можно решить подстановкой
;
тогда
(10)
где - произвольная постоянная.
Пример 3. 
.
Данное уравнение является однородным, так как функции
однородные степени 
. Сделаем замену 
. Тогда уравнение перепишется так:
или
.
Разделяя переменные, полдучаем
.
Так как у нас 
, то
.
Пример 4.
, (11)
.
Это уравнение есть частный случай (9), если
. (12)
Уравнение (11) при 
и 
(условие (12) выполнено) имеет вид
,
и его решение записывается по формуле (10), где
.
Полученное уравнение есть частный случай уравнения Риккати
,
которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при 
уравнение Риккати решается в квадратурах. Отметим, что при 
уравнение Риккати является уравнением с разделяющимися переменными.
Если 
и 
(
- целое), то подстановка
приводит уравнение Риккати к виду
Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю 
.
Если же 
, то подстановка
приводит уравнение к виду
Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Риккати к случаю 
.
Во всех других случаях уравнение Риккати не решается в квадратурах.
Пример 5. 
.
Имеем
.
Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при 
.
| << Предыдущая | Оглавление | Следующая >> |