1.3.5. Линейное уравнение.

Уравнение

,                                       (13)

где  - непрерывные функции от  на интервале , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция  и ее производная входят в это уравнение в первой степени - линейно.

Если , то уравнение

                                                         (14)

называется линейным однородным, а в связи с этим уравнение (13) называют линейным неоднородным.

Однородное линейное уравнение имеет решение . Оно является уравнением с разделяющимися перемевными:

                                              (15)

Если в (15) разрешить постоянной  принимать нулевое значение, то формула (15) дает и решение .

Формула (15) показывает, что график решения линейного однородного уравнения лежит выше оси , если , или ниже оси , если .

Мы пришли к формуле (15) по следующей схеме. Мы предположили, что функция  есть решение дифференциального уравнения (14), отличное от нуля всюду на , и пришли к тому, что оно определяется формулой (15) при некотором . Надо иметь в виду, что интеграл  обозначает некоторую первообразную функцию от  на интервале , поэтому и решение, даваемое формулой (15), определено на . Легко проверить, что функции (15) при любом , в том числе и при , суть решения дифференциального уравнения (14).

Остается выяснить вопрос о существовании решений вашего дифференциального уравнения, пересекающих ось . Для этого можно воспользоваться теоремой 1 § 1.2. Разрешая (15) относительно , получим

.

Легко проверяется, что правая часть этого равенства есть функция от , имеющая непрерывные частные производные на полосе , и тот факт, что если продифференцировать это равенство по , считая, что , то получим дифференциальное уравнение (14). Тогда по теореме 1 § 1.2 формула (15) содержит все решения уравнения (14). Таким образок, линейное уравнение (14) не имеет решений, пересекающих ось .

Уравнение (13) обычно решают методом Бернулли, который заключается в следующем. Будем искать решение в виде произведения двух функций

.

Имеем . Подставляя значения  и  в (13), получим  или .

Подберем функцию  так, чтобы . Относительно  имеем линейное однородное уравнение, следовательно, по формуле (15) можем положить . При такой функции  получаем , откуда

Следовательно, общее, т. е. какое угодно, решение уравнения (13) запишется в виде

,                                (16)

где  - произвольная постоянная.

Входящие в формулу (16) интегралы обозначают произвольные, но выбранные определенно первообразные от подынтегральных функций. Удобно эти первообразные взять в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом  и нижним фиксированным пределом , принадлежащим .

Тогда формула (16) примет вид

.                      (16')

Если потребовать, чтобы при решение обратилось в , то, очевидно, получим .

Следовательно, решение задачи Коши  для дифференциального уравнения (13) дается формулой

         (16'')

Формула (16) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (получающегося из (16) при ).

Мы рекомендуем не применять формально формулу (16), а в каждом примере повторять все выкладки.

Примерб. Решить уравнение.

Здесь . Положим

Интегрируя по частям, находим, что

.

Замечание. Уравнение (13) можно решать также методом вариации произвольной постоянной. Если  — постоянная, то формула (15) дает решение однородного уравнения. Будем считать  - функцией от  и подберем ее так, чтобы выражение  было решением (13). Но это тот же метод Бернулли при .