§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье

Пусть  и  - коэффициенты Фурье функции . На основании формул Эйлера

,

где (будем считать )

.                                  (1)

Отсюда

Эти два равенства можно записать в виде единой формулы

.               (2)

Важно заметить, что если  - действительная функция, то  и  действительны, а числа  и , хотя вообще и комплексны, но взаимно сопряжены:

.                                  (3)

Очевидно, -я сумма ряда Фурье функции  может быть записана в виде

,                        (4)

а сам ряд Фурье функции  - в виде ряда

.                (5)

Мы будем говорить, что ряд (5) сходится для значения , если существует предел

.

Таким образом определенная сходимость называется сходимостью в смысле главного значения.

Ведь можно было бы считать его сходящимся, если существует предел

,

тогда  и  неограниченно возрастают независимо друг от друга.

Комплексные функции

                                (6)

образуют ортогональную систему на отрезке , так как при

(первое равенство записано но определению скалярного произведения для комплекснозначных функций, см. замечание 2 § 4,8). Далее

.