§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье
Рассмотрим
сначала кусочно-гладкую периода
функцию
, удовлетворяющую свойству
. (1)
Это значит, что
имеет период
, непрерывна и имеет
непрерывную производную всюду на действительной оси, за исключением точек,
которых на периоде
конечное число; при этом в этих точках
существуют пределы
и
справа и слева. Кроме того, мы
предполагаем, что в любой точке выполняется равенство (1). Это условие конечно
существенно только для точек разрыва
, потому что в точках непрерывности оно
выполняется автоматически. Совокупность всех указанных периодических функций
обозначим через
.
Для каждой функции
можно рассматривать ее ряд
Фурье
, (2)
где
, (3)
, (4)
, (5)
.
Выпишем еще
-ю сумму ряда Фурье функции
:
. (6)
В теории рядов Фурье доказывается, что
для любой функции
имеет
место
, (7)
т. е. ряд Фурье функции
сходится к ней в
любой точке
.
Интегралы Фурье
могут быть введены по аналогии с рядами Фурье.
Теперь мы будем
рассматривать непериодические функции
кусочно-гладкие и абсолютно
интегрируемые на действительной оси. Для них, таким образом, интеграл
(несобственный)
конечен.
Термин
кусочно-гладкая функция понимается в следующем смысле. Функция
непрерывна и имеет
непрерывную производную для всех точек
действительной оси за исключением
конечного числа точек, где функция
или ее производная
разрывна. Однако в точках
разрыва существуют правый и левый пределы как
, так и
, при этом имеет место равенство
.
Совокупность
указанных непериодических функций обозначим через
.
По аналогии с
коэффициентами Фурье мы вводим для функций
функции
, (3')
, (4')
. (5')
В то время как
коэффициенты Фурье определяются для дискретных значений
, их аналоги (3') - (5')
являются уже функциями непрерывного аргумента
.
По нашему
предположению функция
кусочно-непрерывна, тем не менее функции
и
непрерывны.
Например, пусть
для простоты функция
имеет только одну точку разрыва
. Тогда интеграл
(3') можно разбить на два интеграла
. (8)
Если
видоизменить функцию
в точке
, считая, что
то под первым интегралом в
(8) будет находиться непрерывная функция от
и
. По признаку Вейерштрасса (см. теорему
3 § 2.15) первый интеграл равномерно сходится, потому что
.
Но тогда первый
интеграл есть непрерывная функция от
(см. теорему 1 § 2.15). Подобным
образом доказывается непрерывность по
и второго интеграла (8).
Отметим еще, что
, (9)
, (10)
. (11)
Например, чтобы доказать свойство (9),
введем в интеграле (3') замену переменной
. Тогда
.
Из этого равенства и из (3') следует:
.
Последнее
соотношение (стремление к нулю), конечно, надо доказывать, но мы это делать не
будем.
Аналогом
отдельного члена ряда Фурье (гармоники) естественно считать функцию
(12)
Точнее, аналогом
члена ряда Фурье надо считать
. (12')
Аналогом
-й суммы Фурье надо
считать следующий интеграл (см. (12)):
(13)
Мы переставили
местами интегралы. В данном случае это законно. На основании известной в
анализе теоремы Фубини переставлять интегралы в кратном интеграле
можно, если после перестановки получится абсолютно сходящийся кратный интеграл.
В данном случае
.
В силу (12)
функцию
можно
также записать в комплексной форме
(13')
Функцию
(14)
называют
простым интегралом Фурье.
Можно доказать, что если
, то для
, (15)
т.
е. имеет место свойство, аналогичное свойству (7) для рядов Фурье.
Отметим, что
-я сумма ряда Фурье
периодической функции может быть записана следующим образом (пояснения ниже):
(16)
В предпоследнем равенстве мы
воспользовались формулой (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», § 9.8 (15))
.
В последнем же
равенстве (16) мы сделали замену переменной
. В силу этой замены интеграл по
отрезку
по
перейдет в
интеграл по
по
, но
последний отрезок можно снова заменить на отрезок
, потому что подынтегральная функция
(от
)
периода
(см.
(3) § 4.3).
Мы видим, что
интеграл в правой части (16) очень похож на интеграл (14). Поэтому не так уж
удивительно, что оба эта интеграла стремятся при
к функции
.
Из (13) и (15) следует, что
. (17)
Следовательно, для любой функции
. (18)
Это очень важное
равенство, которое составляет основу в теории интегралов Фурье.
Интеграл в (18)
называется повторным интегралом Фурье.
Равенство (18)
утверждает, что для функций
повторный интеграл Фурье от
в точке
равен значению функции
в точке
.
В интеграле (18)
менять порядок интегрирования нельзя. Да ничего бы и не получилось хорошего.
Если бы мы произвели такую замену - пришлось бы тогда интегрировать по
функцию
(при фиксированных
и
) на бесконечном
интервале
,
но такой интеграл не имеет смысла.
Таким образом, в
повторном интеграле (18) мы должны сначала интегрировать функцию
по
на
, а затем по
на
. Оба интеграла
несобственные. Интеграл по
, очевидно, абсолютно сходится. Что же
касается интеграла по
, то это, вообще говоря, не так.
Буквы
и
в интеграле (18)
можно, конечно, заменить при желании любыми другими буквами
что не изменит величину
интеграла.
Из (13) и (15)
мы получили формулу (18). С другой стороны, из (13') и (15) мы получим другую
важную формулу, верную для функций
:
. (19)
Введем обозначения
называется преобразованием Фурье или
прямым преобразованием Фурье функции
, а
называется обратным преобразованием
Фурье функции
.
Операции ~ и ^ взаимно обратны. Если к функции
применить
операцию ~, а к полученной функции
применить операцию ^, то, как видно из
(19) , получим снова функцию
:
, аналогично
(20)
Задача. Доказать следующие формулы для
функций
:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
(
-действительное);
6)
.
Например,