§ 4.10. Полнота тригонометрических функций

В § 4.4 были приведены признаки сходимости ряда Фурье. Речь там шла об обычной сходимости. Сейчас мы сформулируем признак сходимости ряда Фурье в смысле среднего квадратического.

Совокупность всех функций  периода , ограниченных на отрезке  и непрерывных на нем, за исключением, быть может, конечного числа точек, где  имеет разрыв первого рода, обозначим через .

Если функция  то ее ряд Фурье

,                                   (1)

,

сходится к ней в смысле среднего квадратического, т. е.

,                                  (2)

где

,

Формулу (1), где стоит знак равенства, надо читать в данном случае так: функция  есть сумма ее ряда Фурье, сходящегося к ней (на отрезке ) в смысле среднего квадратического.

Подсчитаем непосредственно интеграл в (2), учитывая ортогональные свойства тригонометрических функций,

Для функции  это выражение при  стремится к нулю. Но тогда имеет место равенство

,                (3)

называемое равенством Парсеваля для тригонометрических функций (равенством Ляпунова).

Замечание. При сравнении формулы (3) с формулой (7) § 4.9 надо учесть, что последняя была выведена для ортонормированной системы, а рассматриваемая здесь формула (3) получена для ортогональной, но не нормированной системы, какой является система

.

Функции

                                  (4)

образуют ортогональную систему на отрезке . Имеет место

Теорема 1. Любую функцию , т. е. кусочно-непрерывную на , можно разложить в ряд Фурье по косинусам:

              (5)

и при этом ряд (5) сходится к  в смысле среднего квадратического на .

В самом деле, эту функцию можно продолжить на  четным образом, а затем периодически с периодом  на всю действительную ось. Получится функция . Ряд Фурье функции  по функциям  в силу четности  имеет в точности вид (5) и, как мы уже знаем, этот ряд сходится к  в смысле среднего квадратического на . Тем более, в смысле среднего квадратического на .

Сказанное можно выразить следующими словами: система функций (4) ортогональная и является полной системой в .

Верно также утверждение: система функций       

                                                   (6)

ортогональная и является полной системой в , т. е. имеет место.

Теорема 2. Любую функцию  можно разложить в ряд Фурье по синусам:

,               (7)

сходящийся к ней в смысле среднего квадратического на .

Ортогональность системы (6) проверяется непосредственно и следует из (2) § 4.5. Что же касается полноты, то она вытекает из следующих соображений.

Продолжим функцию  на отрезок  нечетным образом и затем периодически с периодом . Ее ряд Фурье по системе  сходится в смысле среднего квадратического на . Тем более на . Притом этот ряд имеет вид (7).

Пример. Разложить в ряд по синусам функцию .

Продолжим эту функцию нечетным образом на  и затем периодически с периодом  на всю действительную ось. Тогда ряд Фурье этой функции  будет состоять только из синусов:

,

откуда

.

Таким образом,

.

График суммы этого ряда изображен на рис. 121.

Рис. 121