§ 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции

Зададим на замкнутом ограниченном множестве  пространства  непрерывную функцию . Считаем, что . Произведем два разбиения  и  области  на измеримые части, пересекающиеся в каждом случае разве что по своим границам:

и определим соответствующие им интегральные суммы

Пересечение  и , обозначим через

.

Очевидно,

Поэтому

,

где сумма  распространена на не пустые множества  - ведь мера пустого множества все равно равна нулю.

Так как функция  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве  то она равномерно непрерывна на нем, поэтому для любого  можно указать такое , что

для любых , удовлетворяющих неравенствам

.

Будем считать, что разбиение  и  таковы, что диаметры их частичных множеств меньше :

.                                                    (1)

Но тогда на не пустом множестве

где

есть некоторая точка, принадлежащая к . Но тогда при выполнении условия (1)

,                              (2)

что, как можно доказать, влечет существование интеграла от  по .

В самом деле, зададим последовательность разбиений

таких, что

.                                                                    (3)

На основании свойств (1) и (2) для любого  найдется  такое, что

.

Но тогда,  согласно критерию Коши, существует предел

.

Этот предел не зависит от взятой нами последовательности  удовлетворяющей условию (3), потому что, если допустить, что для некоторой последовательности  имеет место

,

то последовательность разбиений

удовлетворяла бы условию (3), а ей соответствующая последовательность интегральных сумм

не стремилась бы к пределу, что противоречит уже доказанному неравенству (2).

Если , то интеграл от  на  очевидно существует и равен нулю.