§3.8. Интеграл по поверхности первого рода

Пусть гладкая поверхность  определяется уравнением

,                            (1)

где  - ограниченная область с кусочно-гладкой границей и  - непрерывно дифференцируемые на  функции. Символ  обозначает взаимно однозначное соответствие между точками  и точками .

Пусть, далее, на  или в окрестности  задана непрерывная функция . Произведем разбиение  на части с кусочно-гладкими границами, пересекающиеся попарно разве что по своим границам. Каждой части  соответствует определенная часть  поверхности . Пусть  - произвольная точка на . Составим сумму

,

где  - площадь  (см. § 2.11). Предел ее

                               (2)

называется интегралом по поверхности  (первого рода) функции  (или поверхностным интегралом первого рода).

Например, если на  распределена масса с плотностью распределения , то интеграл от  по  будет выражать общую массу .

Интеграл (2) вычисляется по следующей формуле:

,                     (3)

где справа стоит обычный кратный интеграл .

В частности, если гладкая поверхность  определяется уравнением  , где  непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на , то можно считать, что она задана параметрически через параметры :

Тогда

и, следовательно,

.              (4)

Докажем формулу (3). Пусть  и

.

Тогда (пояснения ниже)

где знак  обозначает, что в  подставлена точка , а  - что в  подставлена такая точка, чтобы выполнялась теорема о среднем для интеграла:

(см. теорему 3 § 2.3).

Ведь, очевидно, что  для любого малого

,

если только , где  зависящее от  число, потому что функция  равномерно непрерывна на .