§3.7. Формула Грина

Для достаточно общих плоских областей  с положительно ориентированной границей  справедлива формула

,                                  (1)

называется формулой Грина. Здесь предполагается, что  непрерывны на замыкании  области .

Начнем с того, что рассмотрим плоскую область , изображенную на рис.84, которую мы будем называть элементарной -областью. Снизу и сверху  ограничена кусочно-гладкими кривыми, имеющими соответственно уравнения

Рис. 84

С боков  ограничена отрезками прямых параллельных оси ординат. Отметим, что эти отрезки могут вырождаться в точку.

Граница  области  состоит из четырех частей:

.

Для такой области  имеют равенства (пояснения ниже, ориентировано положительно)

Поясним последнее равенство. Кривая  имеет параметрические уравнения (с параметром )

.

При этом значению  соответствует точка , а значению  - точка . Кривая  определяется уравнениями

.

Значению  соответствует точка  и значению  - точка . Наконец, отрезок  имеет уравнения  (с параметром ). Вдоль этого отрезка , поэтому на самом деле

.

Аналогично интеграл по отрезку  равен нулю:

.

Итак, мы определили, что

.                                     (2)

Эта формула распространяется на любую область, которую можно разрезать на конечное число элементарных -областей. Такую область будем называть просто -областью.

В самом деле, пусть , где  - элементарные -области с границей , которые будем считать ориентированными положительно (рис.85). Тогда (пояснения ниже)

.                 (3)

Пояснения требует третье равенство.

Здесь важно отметить, что, если два контура , и  имеют общий кусок , то он как часть  и как часть  ориентирован противоположно, и потому криволинейные интегралы от  по  в обоих случаях отличаются лишь знаком  их сумма равна нулю. Если учесть это, то сумма  в цепи (3) сведется к сумме криволинейных интегралов по кускам , принадлежащим к , равной интегралу по контуру .

Рис. 85                                                   Рис.86

По аналогии можно ввести понятие элементарной -области. В этом случае  ограничена слева и справа кусочно-гладкими кривыми (рис. 86)

.

Сверху и снизу  ограничена отрезками прямых параллельных оси .

Можно также сказать, что элементарная -область определяется так же, как элементарная -область, только роль  теперь играет .

Для элементарной -области  получаем (пояснения ниже)

                     (4)

так как  на отрезках  и , то и

.

Формула (4) также распространяется на любую область , которую можно разрезать на конечное число элементарных -областей. Такую область будем называть просто -областью.

Итак, мы доказали предложение:

Теорема 1. Если область  является одновременно - и -областью, то для нее имеет место формула Грина.

Для доказательства достаточно вычесть из равенства (4) равенство (3), которые справедливы для области , обладающей указанными свойствами.

Примерами областей, одновременно являющихся - и -областями, могут служить область

и эллипс

.

Более того, эти области являются элементарными - и -областями.

Замечание 1. Можно доказать более общее утверждение. Если область  ограничена произвольным замкнутым кусочно-гладким самонепересекающимся контуром , то для нее верна формула Грина (1).

Следствие. Если плоская область  односвязна и на ней задан непрерывно дифференцируемый вектор

,

для которого

,

то  имеет на  потенциал (т. е. имеет место в плоском случае теорема 3 § 3.4).

В самом деле, зададим произвольный самонепересекающийся непрерывный кусочно-гладкий контур , ориентированный положительно (рис. 87).

Он служит границей некоторой области . Согласно теореме (формуле) Грина (см. замечание 1)

,

Рис. 87

и так как  - произвольный замкнутый самонепересекающийся контур, то на основании теоремы 1 § 3.4 вектор  имеет потенциал на .

Замечание 2. Так как двойной интеграл от единичной функции по области  равен площади (мере) области , то, выбирая функции  и  так, чтобы , мы получим различные выражения площади области  через криволинейный интеграл:

.

В частности, при  получаем

.                              (5)

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом

.

Согласно формуле (5) имеем

.