§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования

В дальнейшем  будут области с кусочно-гладкой границей (хотя их можно считать и произвольными измеримыми по Жордану множествами).

Справедливо равенство

.                   (1)

Это равенство очевидно. Чтобы вычислить интеграл (1), надо разрезать кусочно-гладкими поверхностями область  на части

,

пересекающиеся разве что по своим границам (рис. 34), и учесть, что

Но тогда

.

Рис.34

По формуле (1) в двумерном случае вычисляется площадь , в трехмерном - объем . В -мерном же случае формула (1) дает -мерную меру .

Мы увидим в дальнейшем, что вычисление интеграла (1) и более общего интеграла  может быть сведено к последовательному вычислению некоторых одномерных интегралов (см. § 2.4).

Ниже мы предполагаем, что для функций , о которых будет идти речь, рассматриваемые интегралы существуют. Мы не будем оговаривать это обстоятельство особо.

Справедливо равенство

,                              (2)

где  и  - константы.

Если область  с кусочно-гладкой границей разрезана на измеримые части , то

.                                                         (3)

Если

,                                                 (4)

то

.                                                      (5)

Но тогда, учитывая, что

,

получим в силу (2) (при ), что

.

т.е.

.                                                      (6)

В частности, из (6) следует, что если

,                                                        (7)

где  - константа, то

.                          (8)

Справедлива теорема существования (доказательство см. § 2.5).

Теорема 1. Если функция  непрерывна на замыкании  ограниченной области  с кусочно-гладкой границей, то она интегрируема на  так же, как на , и

.                      (9)

Отметим, что

,

где  - граница . По условию  - кусочно-гладкая граница. Ее мера (-мерная) равна нулю (), следовательно,

.

Сформулируем более общую теорему существования.

Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на замыкании  ограниченной области  с кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких кривых в конечном числе, где она может иметь разрывы, то  интегрируема на  так же, как на , и выполняется равенство (9).

Отметим еще теорему.

Теорема 3 (о среднем). Пусть функция  непрерывна на замыкании  области , которое мы будем предполагать связным. Тогда существует точка  такая , что выполняется равенство

.                                                            (10)

Доказательство. По условию функция  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , поэтому на  существуют точки  и , в которых  достигает соответственно своего минимума и максимума на :

.

Интегрируя эти неравенства по , получим

или

.                                 (11)

Из неравенства (11) следует, что число

находится между наименьшим значением функции  и наибольшим . В силу связности  существует принадлежащая к  непрерывная кривая

,

соединяющая точки  и , т. е. такая, что

.

Функция

непрерывна на отрезке  (как суперпозиция непрерывных функций) и принимает на его концах значения

.

Но тогда по теореме о промежуточном значении для функции  от одного переменного, существует такое , что в точке  имеет место равенство

,

и мы доказали (10).

Замечание. Число , фигурирующее в (10), называется средним значением непрерывной функции  на области .