§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана

Ограничимся рассмотрением двумерных множеств. В плоскости зададим прямоугольную систему координат . Зададим натуральное число  и две системы прямых

,

определяющих в плоскости прямоугольную сетку, состоящую из квадратов со стороной . Такую сетку мы будем называть  - сеткой (рис. 29). Ясно, что при переходе от  к  каждый квадрат  - сетки (  ) разрезается на четыре равных квадратика. Последние образуют уже  сетку.

В плоскости зададим произвольное ограниченное множество  и для данного  введем два множества  и ,. Первое из них  есть сумма (теоретико-множественная) квадратиков  - сетки (), каждый из которых полностью принадлежит к  (на рис. 29 заштрихованная часть). Будем называть  внутренней фигурой множества  (определяемой данной  - сеткой). Может случиться, что  есть пустое множество, т. е. нет ни одного квадратика, который бы полностью принадлежал к . Это имеет место, например, если  есть множество, состоящее из конечного числа точек, или если это есть кусок гладкой кривой.

Рис. 29

Второе множество  мы называем внешней фигурой множества  (определяемой данной  - сеткой). Оно есть сумма квадратиков  - сетки, каждый из которых содержит в себе хотя бы одну точку . Очевидно,

,

и площади фигур  которые мы будем обозначать через  удовлетворяют неравенству

.

Если  - пустое множество, то считают . Нетрудно видеть, что

,

 откуда

.

Таким образом,

каковы бы ни были натуральные числа  и .

Если зафиксировать , то получится, что числа  при неограниченном возрастании  не убывают, оставаясь не большими числа . Это показывает, что существует предел

.

Его называют внутренней мерой множества  и обозначают так:

.

Это вполне определенное число, не зависящее от . Мы получили неравенство

,

где числа  монотонно не возрастают при неограниченном возрастании . Но тогда существует предел

,

который называют внешней мерой Жордана множества  и обозначают через .

Итак, произвольное ограниченное множество  плоскости имеет внутреннюю и внешнюю меры  и . Это неотрицательные числа, удовлетворяющие неравенству .

Если на самом деле имеет место равенство, то  называют измеримым по Жордану в двумерном смысле и число

называют двумерной мерой  по Жордану.

Меру Жордана мы будем называть также и просто мерой. Итак, множество  измеримо (по Жордану), если для него

.                                                            (1)

Обозначим через  границу множества . Чтобы получить совокупность квадратиков сетки, покрывающих  или, как мы будем говорить, чтобы получить фигуру, покрывающую  (см. рис. 29), надо из фигуры , вычесть в теоретико-множественном смысле фигуру  и замкнуть полученное множество

.

Очевидно, площадь (двумерная мера)  равна

.

Из (1) следует:

.                                              (2)

Обратно, из равенства

,                                                                                    (3)

учитывая, что пределы  и  существуют, следует равенство (1), т. е. измеримость .

Заметим, что предел (3) есть внешняя мера , т. е.

.

Но , поэтому и

.

Мы доказали важное утверждение: для того, чтобы множество  плоскости было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы мера его границы равнялась нулю ().

Ниже будет показано, что кусочно-гладкая кривая имеет, двумерную меру нуль. Но тогда область , имеющая кусочно-гладкую границу, измерима в двумерном смысле по Жордану.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Множество , состоящее из одной точки, имеет двумерную меру нуль . Точка может принадлежать самое большее к четырем квадратикам -сетки, их общая площадь стремится к нулю при  и, следовательно, , но , поэтому .

Пример 2. Непрерывная кривая  (рис. 30)  имеет двумерную меру нуль .

Рис. 30

В самом деле, вследствие равномерной непрерывности  на  для любого  найдется  такое, что  для всех , удовлетворяющих неравенству . Найденное  можно уменьшить, как мы хотим. Будем считать, что . Зададим -сетку с

и рассмотрим какой-либо столбик из квадратов сетки, содержащих в себе точки . Его высота не превышает  (на рис. 30 при  выделенный столбик включает четыре квадратика  - сетки, содержащих точки  и ), а площадь не превышает

,

где  - длина некоторого отрезка, содержащего в себе отрезок .

Это показывает, что общая площадь  квадратиков, покрывающих кривую , при достаточно большом  может быть сделана меньшей наперед заданного как угодно малого положительного, и, следовательно, внешняя мера , тем более внутренняя, равна нулю. Но тогда

.

Так как сумма конечного числа множеств, имеющих меру нуль, очевидно, имеет меру нуль, то из примера 1 следует, что двумерная мера множества, состоящего из конечного числа точек равна нулю.

А из примера 2 следует, что гладкая кривая

                                                  (4)

имеет двумерную меру нуль (рис. 31).

Дело в том, что если  - гладкая кривая, то отрезок  можно разделить на конечное число отрезков точками

Рис. 31                                                               Рис.32

так, что на каждом частичном отрезке  одно из двух уравнений (4) можно разрешить относительно  и подставить во второе. В результате получим, что соответствующий кусок  кривой  описывается либо уравнением вида

,

либо уравнением вида

где функции  и  непрерывны на соответствующих отрезках.

Но тогда, как мы знаем из примера 2,

.

Поэтому, так как  есть сумма конечного числа кусков .

,

каждый из которых имеет меру нуль, то .

Отметим, что если два множества  и  измеримы, то измеримы также их сумма , разность  и пересечение .

В самом деле, обозначим через  границу множества. На рис. 32 изображены два множества  и . Очевидно,

                                    (5)

Если  и  измеримы, то , но тогда и меры левых частей (5) равны нулю, что показывает, что множества  и , , измеримы.

Рис.33

Здесь мы воспользовались очевидным свойством меры. Если множество  имеет меру нуль, то и любое его подмножество имеет меру нуль.

Наконец, если  и  - измеримые множества, пересекающиеся разве что по своим границам, то

.              (6)

В самом деле, очевидно (рис. 33)

,

и так как

то, очевидно,

,

что доказывает (6).

Отметим, что если область  измерима, то ее мера Жордана равна мере ее замыкания:

.

В самом деле,  где  - граница  и , где .

Пример 3. Множество , состоящее из всех рациональных чисел отрезка , не измеримо по Жордану: .

В трехмерном случае теория меры  Жордана аналогична. Теперь вводится прямоугольная система координат  и три семейства параллельных плоскостей

делящих пространство на кубики с ребром .

Такое разбиение пространства мы снова называем -сеткой (трехмерной).

Пусть  есть ограниченное множество точек, принадлежащих пространству. Обозначим через  внутреннюю фигуру множества  - совокупность кубиков сетки, полностью принадлежащих , и через ,- внешнюю фигуру множества  - совокупность кубиков сетки, каждый из которых содержит хотя бы одну точку .

Снова заключаем, что

откуда следует:

и

,

каковы бы ни были натуральные  и . Отсюда вытекает существование пределов

.

Первый предел в этом неравенстве называется внутренней (трехмерной) мерой :

,

а второй - внешней мерой :

.

Таким образом,

.

Если

,

то множество  называют измеримым в трехмерном смысле по Жордану и число  называют его трехмерной мерой.

Рассуждениями, подобными тем, которые велись в связи с равенствами (1), (2), (3), доказывается, что множество измеримо в трехмерном смысле тогда и только тогда, когда его граница имеет трехмерную меру нуль.

Мы не будем формулировать дальнейшие свойства измеримых в трехмерном смысле множеств. Они аналогичны отмеченным выше свойствам множеств, измеримых в двумерном смысле.

Остановимся только на объяснении того, что кусочно-гладкая поверхность имеет трехмерную меру нуль. Такая поверхность состоит из конечного числа кусков , пересекающихся разве что по своим краям, каждый из которых при соответствующем переобозначении координат определяется уравнением

,

где  - замыкание некоторой ограниченной в плоскости  области.

Зададим  и подберем  так, чтобы

для всех точек , находящихся на расстоянии друг от друга

.

Считаем  и берем  - сетку с . Рассматриваем какой-либо столбик из кубиков сетки, содержащих в себе точки . Его высота не превышает , а объем не превышает. Общий объем всех таких столбиков, покрывающих , не превышает

.                                                              (7)

Здесь  есть площадь квадрата , покрывающего множество . Правая часть (7) может быть взята как угодно малой, что доказывает, что трехмерная мера .

Можно ввести по аналогии понятие -мерной меры для множеств пространства  и показать, что гладкая поверхность в  имеет -мерную меру нуль.