Глава 5 Уравнения математической физики

§ 5.1. Температура тела

Рассмотрим физическое тело . Температуру его в точке  в момент времени  обозначим через

.

Покажем, что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению

                  (1)

или, если воспользоваться обозначением

,

уравнению

,                                        (1')

которое называется уравнением теплопроводности. Оно является примером линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.

Рассмотрим элементарный кубик  в теле  (рис. 123). Количество тепла, проходящее через левую грань  справа налево за промежуток времени , равно с точностью до бесконечно малых высшего порядка

.

Рис. 123

Здесь - коэффициент теплопроводности тела, который мы считаем постоянным в любой его точке. Дело в том, что указанное количество тепла, очевидно, пропорционально числу , площади  рассматриваемой грани, приращению времени  и скорости изменения температуры в направлении оси , равной частной производной . Частная производная меняется в пределах грани, но пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, можно считать, что она всюду на этой грани равна  в точке .

Количество тепла, проходящее через правую грань  справа налево, очевидно, равно

.

Количество же тепла, вошедшее в куб  через левую и правую его грани за указанный промежуток времени, равно

.

Общее количество тепла, вошедшее в  за время , очевидно, равно сумме количеств тепла, вошедших за это время через все грани :

,                                          (2)

Но это число (количество тепла) равно также

,                                                             (3)

где  - удельная теплоемкость тела, которую мы считаем постоянной во всех его точках.

Приравнивая величины (2), (3), после сокращений получим дифференциальное уравнение (1), где

.

Итак, мы показали, что температура тела  есть функция и , удовлетворяющая уравнению (1), где  - положительная константа, физический смысл которой был выяснен выше. Впрочем, мы ограничились тем случаем, когда во всех точках тело имеет постоянную удельную теплоемкость и постоянный коэффициент теплопроводности.

Дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти среди них определенное решение, надо наложить на функцию и дополнительные условия. Обычно это так называемые начальные и граничные условия.

Ниже мы рассмотрим несколько математических задач, связанных с этим вопросом.