§ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье

Будем рассматривать функции , от многих переменных, заданных на некотором -мерном прямоугольнике

,

где  - действительные числа.

Из теории кратных интегралов (см. теорему 3 § 2.4) следует, что если интегрируемая на  функция , представима в виде произведения интегрируемых функций от одного переменного

,

то

,                                (1)

где .

Прямоугольник  можно рассматривать как прямое произведение отрезков  (см. сноску 2 на с. 191):

.

Отметим, что в равенстве (1) слева стоит -кратный интеграл, а справа стоят одномерные интегралы Римана от функций , заданных на .

Функции

,

как мы знаем имеют период  по переменной . Эти функции (от одного переменного ) непрерывны на всей оси  и на периоде , а следовательно, интегрируемы по Риману на отрезке . Кроме того, нам известно, что функции  образуют ортонормальную систему  на , т. е.

                   (2)

Введем обозначения

Тогда в силу (1) и (2) функции

                                      (3)

от  переменных будут ортонормальны на кубе :

Под равенством целочисленных векторов  и  мы, как обычно, понимаем равенство соответствующих их координат и  означает, что векторы  и  отличаются хотя бы одной координатой.

Будем рассматривать комплексные функции  периода  по каждой из переменных .

Символ  будет обозначать класс (пространство) непрерывных функций с нормой (см. § 4.8)

.

Множество всех кусочно-непрерывных периодических функций, для которых введено скалярное произведение по формуле

,                                     (4)

мы будем обозначать  и называть пространством . Норма в этом классе (пространстве) вводится так:

.

Тот факт, что  - кусочно-непрерывная функция, означает следующее: куб  (период) можно разрезать на конечное число частей с помощью кусочно-гладких поверхностей так, что на каждой части функция  непрерывна и имеет пределы на границе части, а вдоль разрезов она может иметь разрывы.

Все свойства нормы (см. § 4.8) для пространства  выполнены. Под нулевой функцией  мы понимаем функцию, равную нулю всюду на , кроме конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

Например, в случае функций от двух переменных, мы допускаем, что нулевая функция  может быть не равна нулю в конечном числе точек  или на конечном числе кусочно-гладких кривых.

Отметим, что -мерная мера Жордана указанных поверхностей равна нулю, поэтому -кратный интеграл от нулевой функции по , равен нулю.

Пусть теперь функция , периода  по каждой из переменных и известно, что ее можно разложить в кратный ряд:

,                                             (5)

где последняя сумма распространена на всевозможные векторы  с целыми координатами.

Спрашивается, как определить по функции  коэффициенты . Здесь можно поступить таким же образом, как это мы делали в § 4.3 в одномерном случае, т. е. для функции  от одного действительного переменного.

Если ряд (5) равномерно сходится на , то (аналогично, как и для функции одного переменного, см. § 4.6)

.                    (6)

Числа , вычисляемые по формуле (6), называют коэффициентами Фурье функции , а ряд (5), в который вместо  подставлены коэффициенты Фурье, называют рядом Фурье функции  в комплексной форме (см. § 4.11).

Итак, если функция  представима в виде суммы ряда (5), равномерно сходящегося на , то числа , необходимо являются коэффициентами Фурье функции .

Если в ряде (5) коэффициенты  вычислены по формулам (6), то ряд (5) будем называть рядом Фурье функции  независимо от того, сходится он к  или нет. В этом случае будем писать

                                              (7)

Если функция , то ряд (7) не обязательно сходится к  во всех точках  (см. § 4.16).

Зададим вектор , где  - натуральные числа, и определим соответствующую ему частичную сумму Фурье функции  следующим образом:

            (8)

где

 - ядро Дирихле порядка . Здесь мы воспользовались формулой Эйлера .

В частности, если , то

.                                           (8')

Многомерный аналог суммы Фейера имеет вид

     (9)

где

- ядро Фейера порядка . Если , то в формуле (9) ядро  несколько упростится.

Так как функции  при  ортогональны к 1, то

.                                                       (10)

Далее, если , то

.

Кроме того,

                                                             (11)

при .

Докажем последнее свойство для двумерного случая

при и  (см. свойство 3) ядра Фейера § 4.16).

Теорема 1. Если функция , то

.

Доказательство. В силу свойства (10) ядра  имеем

.

Отсюда

где  - пока произвольное число

Так как функция  по условию теоремы непрерывна на , то она ограничена и равномерно непрерывна на .

;                                                            (12)

для всякого  существует  такое, что

                                                                               (13)

при  и любых .

Теперь, взяв  такое, как указано в (13), на основании свойств ядра  получаем

.

Теперь для вектора  с достаточно большими координатами, на основании свойства (11), второе слагаемое справа в последнем неравенстве можно сделать при  меньшим .

Тогда окончательно получим

,

или

при . Теорема доказана.

Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что система функций (3) полна в , а следовательно, и в  (см. § 4.17).

Замечание 2. Мы уже отмечали выше, что кратный ряд Фурье непрерывной функции не обязательно сходится к ней во всех точках . Однако кратная сумма Фейера  непрерывной периодической функции , как мы доказали выше, сходится к во всех точках .

Справедлива

Теорема 2. Ряд Фурье (7) функции  сходится в  в смысле среднего квадратического

и имеет место равенство Парсеваля

.

Доказательство этой теоремы можно провести, как в одномерном случае (см. § 4.9, 4.17), воспользовавшись замечанием 1 о полноте системы (3).

Будем теперь рассматривать ряд Фурье (7) в двумерном случае. Если воспользоваться формулами Эйлера , то (7) формально преобразуется в ряд

                            (14)

где мы положили

                                        (15)

Замечание 3. Если  - действительная функция, то , , ,  - действительные числа.

Отметим, что к ряду (14) мы могли бы прийти и непосредственно, исходя из ортогональной на  системы функций

                     (16)

Ряд (14), где числа , , ,  вычисляются по формулам (15), называется рядом Фурье функции  по тригонометрической системе функций (16). Числа (15) называются коэффициентами Фурье функции  по системе (16).

Таким образом, кратный ряд Фурье можно записывать как в комплексной форме (7), так и в виде кратного тригонометрического ряда (14).

Рассматривая снова -мерный случай, в предположении, что

,

коэффициент Фурье , где , можно преобразовать следующим образом:

;

Интегрируя по частям в последнем интеграле , получаем

Вообще, если  - заданный целый неотрицательный вектор и  для любого неотрицательного целого вектора  то после соответствующего применения процесса интегрирования по частям (с учетом периодичности функции  и ее производных) получим

,                                         (17)

где

,

причем мы считаем, что если , то .

Числа  - коэффициенты Фурье производной

.

Теорема 3. Пусть  - вектор с целыми, положительными компонентами и функция  вместе со своими частными производными  порядка  и выполняются неравенства

                                     (18)

для любого вектора , имеющего компоненты , равные нулю или же .

Тогда сумма Фурье  функции  отклоняется от  с оценкой

,                      (19)

где  не зависит от  и  и зависит только от .

Доказательство. Для простоты оценим остаток ряда Фурье функции в двумерном случае

.

Если рассматривать плоскость точек  (рис. 122), то в остаточный член  входят члены ряда Фурье, отвечающие точкам  с целочисленными координатами из заштрихованной части.

Рис. 122

Учитывая, что , имеем

В силу формулы (17) получаем

Применяя неравенство Буняковского для сумм (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 6, (7)), получаем (пояснения ниже)

Теперь в силу равенства Парсеваля и (18), а также неравенств ,  при  имеем

Таким образом,

                                        (20)

где постоянная  не зависит от  и , .

В -мерном случае оценку остатка можно провести подобным образом.

Оценка (20) говорит о том, что ряд Фурье функции  сходится равномерно на  при .

В силу теоремы 2 ряд Фурье функции  сходится к  в смысле среднего квадратического. В таком случае он сходится равномерно именно к функции  (см. ниже лемму 1), и потому

,

и теорема доказана.

Следствие. Если функция  и ее частные производные вида принадлежит к , то кратный ряд Фурье функции  сходится равномерно на  к функции .

Ведь если эти частные производные непрерывны, то их квадраты интегрируемы на , и верны оценки (18) при некоторой постоянной  и .

Лемма. Если ряд

непрерывных на области  функций сходится в смысле среднего квадратического к непрерывной функции  и в то оке время он сходится равномерно на  к функции , то для всех точек

.

Доказательство. Пусть  - сумма первых  членов ряда,  - произвольный шар и

.

По условию леммы . Поэтому в силу неравенства треугольника (см. § 4.8)

Следовательно, левая часть этой цепи равна нулю (она не зависит от ):

.

Далее, так как по условию функция  непрерывна на , а  непрерывка на , как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, то для всех

.

Если предположить, что существует хотя бы одна точка , в которой

,

то мы получили бы, что

(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 6.2, теорема 8).

Далее, так как  - произвольный шар, входящий в область  (открытое связное множество), то

,

и лемма доказана.

Теорема 4. Для функции  при произвольном  имеет место равенство

        (21)

равномерно на любой области .

Здесь множество  (крест) есть объединение множеств , т.е. . Символ .

Теорема имеет место и в случае, если функция  просто интегрируема (по Риману или Лебегу). Мы не будем доказывать данную теорему, отметим лишь, что при ее доказательстве придется использовать свойства кратных интегралов Фурье, аналогичные свойствам одномерных интегралов Фурье (см. формулы (9) - (11) § 4.12).

Заметим еще, что в формуле (21) нельзя заменить множество (крест) на куб , и в этом проявляется существенное различие между рядами Фурье функций многих переменных и функций одной переменной.

Формулу (21) можно использовать при получении различных достаточных признаков сходимости кратного ряда Фурье к функции  в зависимости от свойств функции .