§ 2.12. Координаты центра масс

В пространстве, где введена прямоугольная система координат, пусть задана материальная точка  с массой . Статическим моментом этой точки относительно плоскости  называется произведение , и обозначается символом

.

Статический момент относительно плоскости  конечной системы материальных точек  с массами  определяется равенством

.

Наконец, если масса распределена по некоторому множеству , то статический момент тела  относительно плоскости  определяется как интеграл,

,

где  - плотность распределения массы.

Центр тяжести  тела  имеет координаты  определяемые равенствами

.

В частности, если  и  есть криволинейная трапеция в плоскости  ограниченная сверху графиком функции  и снизу осью , равномерно заполненная массами с плотностью , то (рис.57)

.

Рис. 57

Ведь .

Отсюда

.                                       (1)

В правой части (1) стоит объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции  около оси .

Таким образом, мы получили известную теорему Гюльдина: объем тела вращения криволинейной трапеции  равен ее площади, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс (тяжести) этой трапеции около оси .

Если  есть однородная  кривая , то

,

где  - длина кривой в пределах  - элемент длины дуги. Так как , то

или

.                            (2)

В правой части (2) стоит площадь поверхности вращения кривой  около оси . Таким образом, равенство (2) дает другую теорему Гюльдина: площадь поверхности вращения кривой , равна длине ее дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс этой дуги около оси .

Теоремы Гюльдина позволяют по двум известным величинам находить третью. Например, если известны координаты центра тяжести и объем тела вращения, то можно определить площадь криволинейной трапеции и т. д.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести криволинейной трапеции  (рис. 58).

Рис. 58

Пусть  - центр тяжести. В силу симметрии ясно, что  (мы считаем ). Найдем площадь трапеции :

.

Объем тела, полученного от вращения  около оси  равен

                                                .

На основании первой теоремы Гюльдина

.

Пример 2. Найти объем тела, полученного от вращения круга  с центром в точке , радиуса , около оси  (рис. 59).

Ясно, что центр тяжести круга (однородного) совпадает с его геометрическим центром, т. е. . Площадь круга . Поэтому по первой теореме Гюльдина

.

Пример 3. Найти площадь поверхности тела вращения, рассмотренного в примере 2.

Данную поверхность можно рассматривать как поверхность, полученную от вращения окружности  около оси . Длина этой окружности равна . Поэтому по второй теореме Гюльдина

(центр тяжести однородной окружности также совпадает с центром  этой окружности).

Рис.59                                                Рис.60

Пример 4. Найти центр тяжести однородного  полукруга ; полуокружности .

Известно, что объем шара радиуса  равен , а площадь поверхности шара равна . По формуле (1) получаем (рис. 60)

,

где  - ордината центра тяжести полукруга.

По формуле (2) для ординаты  центра тяжести полуокружности имеем

.

Моменты. Моментом -го порядка  материальной точки  с массой  относительно плоскости  называется произведение

,

Если массы распределены по измеримому множеству  с плотностью , то

.

Если , то соответствующий момент второго порядка называется моментом инерции.

Кроме того, можно рассматривать моменты -го порядка тела  относительно начала координат

;

относительно оси . Например, момент -го порядка относительно оси  запишется

.